Utilize a transformação dada para calcular a integral integral duplaR y^2x d A, onde R é a região entre as parábolas x=1-y^2 e x=3(1-y^2); x=v(1-u^2), y=u.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral duplaR y^2x dA. A região R está entre as parábolas x=1-y^2 e x=3(1-y^2). Vamos usar a transformação que foi dada: x = v(1 - u^2) e y = u. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas e mudanças de variáveis, especialmente usando o método de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a transformação x = v(1 - u^2) e y = u vai afetar os limites de integração e a própria integral. Isso envolve calcular o determinante jacobiano da transformação, que nos ajuda a ajustar a área de integração quando mudamos de coordenadas.

Passo 3

Calculemos o Jacobiano da transformação. O Jacobiano J é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = -2uv partial xpartial v = 1 - u^2 partial ypartial u = 1 partial ypartial v = 0
Então,
J = (-2uv)(0) - (1 - u^2)(1) = -(1 - u^2)
O valor absoluto do Jacobiano é |J| = 1 - u^2.

Passo 4

Agora, precisamos reescrever a integral original usando as novas variáveis u e v. A função dentro da integral y^2x se torna:
u^2v(1 - u^2)
E o diferencial de área dA se transforma em |J| du dv = (1 - u^2) du dv.
Portanto, a integral transformada fica:
integral duplaR' u^2v(1 - u^2) cdot (1 - u^2) , du , dv = integral duplaR' u^2v , du , dv

Passo 5

Precisamos agora determinar os novos limites de integração na região transformada R'. Originalmente, R está entre x=1 - y^2 e x=3(1 - y^2). Substituindo y = u e x = v(1 - u^2):
1 - u^2 <= v(1 - u^2) <= 3(1 - u^2)
Dividindo todos os termos por (1 - u^2) (assumindo 1 - u^2 neq 0):
1 <= v <= 3
Além disso, vemos que u pode variar onde 1 - u^2 > 0, ou seja, -1 < u < 1.

Passo 6

Agora que temos os limites, podemos escrever a integral dupla como:
integralu=-1^1 integralv=1^3 u^2v , dv , du
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a v:
integral1^3 u^2v , dv = u^2 integral1^3 1v , dv = u^2 [ln v]1^3 = u^2 (ln 3 - ln 1) = u^2 ln 3
Já que ln 1 = 0.

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a u:
integral-1^1 u^2 ln 3 , du = ln 3 integral-1^1 u^2 , du
Calculando a integral de u^2 de -1 a 1:
integral-1^1 u^2 , du = [ u^33 ]-1^1 = 13 - ( -13 ) = 23

Resposta

Portanto, a integral original vale:
integral duplaR y^2x dA = ln 3 cdot 23 = 23 ln 3

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