Utilize a transformação dada para calcular a integral , onde é a região entre as parábolas e ; .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . A região está entre as parábolas e . Vamos usar a transformação que foi dada: e . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas e mudanças de variáveis, especialmente usando o método de substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a transformação e vai afetar os limites de integração e a própria integral. Isso envolve calcular o determinante jacobiano da transformação, que nos ajuda a ajustar a área de integração quando mudamos de coordenadas.
Passo 3
Calculemos o Jacobiano da transformação. O Jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
partial xpartial u = -2uv partial xpartial v = 1 - u^2 partial ypartial u = 1 partial ypartial v = 0
Então,
J = (-2uv)(0) - (1 - u^2)(1) = -(1 - u^2)
O valor absoluto do Jacobiano é |J| = 1 - u^2.
Passo 4
Agora, precisamos reescrever a integral original usando as novas variáveis u e v. A função dentro da integral y^2x se torna:
u^2v(1 - u^2)
E o diferencial de área dA se transforma em |J| du dv = (1 - u^2) du dv.
Portanto, a integral transformada fica:
integral duplaR' u^2v(1 - u^2) cdot (1 - u^2) , du , dv = integral duplaR' u^2v , du , dv
Passo 5
Precisamos agora determinar os novos limites de integração na região transformada R'. Originalmente, R está entre x=1 - y^2 e x=3(1 - y^2). Substituindo y = u e x = v(1 - u^2):
1 - u^2 <= v(1 - u^2) <= 3(1 - u^2)
Dividindo todos os termos por (1 - u^2) (assumindo 1 - u^2 neq 0):
1 <= v <= 3
Além disso, vemos que u pode variar onde 1 - u^2 > 0, ou seja, -1 < u < 1.
Passo 6
Agora que temos os limites, podemos escrever a integral dupla como: