Calcular integral duplaA f(x, y) d x d y com f e A definidos por :
f(x, y)=(x+y)^4y-x e .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=(x+y)^4y-x sobre a região A definida por 3-y<= x<= 5-y e 1+x<= y<= 3+x. Vamos usar mudança de variáveis para simplificar a região e o integrando.

Passo 2

Definimos as variáveis u=x+y e v=y-x. Observe que as desigualdades ficam:
3-y<= x<= 5-yimplies 3<= x+y<= 5implies 3<= u<= 5,
1+x<= y<= 3+ximplies 1<= y-x<= 3implies 1<= v<= 3
Portanto, em (u,v) a região A vira o retângulo 3<= u<=5,;1<= v<=3.

Passo 3

Agora achamos o jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y) dado por
x=u-v2, y=u+v2
O determinante é
J=detpartial x/partial u & partial x/partial v partial y/partial u & partial y/partial v=12
Logo dx,dy=tfrac12,du,dv.

Passo 4

Substituindo no integral temos:
integral duplaA(x+y)^4y-x,dx,dy=integral dupla[3,5]times[1,3]u^4vcdot12,du,dv
Como separam os termos, fica
=12l(integralu=3^5u^4,dur)l(integralv=1^31v,dvr)
Calculando:
integral3^5u^4,du=u^55|3^5=5^5-3^55=3125-2435=28825,
integral1^3dvv=ln3
Logo
12cdot28825cdotln3=14415ln3

Passo 5

Aqui a integral dupla ficou fácil depois da mudança de variáveis e da separação dos integrandos em produtos de integrais univariadas.

Resposta

14415ln3

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