Calcular integral duplaA f(x, y) d x d y com f e A definidos por :
f(x, y)=x y e A a região A limitada pelas curvas y=x^2 e x=y^2;

Passo 1

Estamos com uma integral dupla de f(x,y)=xy sobre a região A limitada pelas curvas y=x^2 e x=y^2. O conteúdo é integração dupla usando a descrição da região e o Teorema de Fubini — vamos precisar achar as interseções das curvas e descrever A em coordenadas cartesianas para montar a integral iterada.

Passo 2

Para determinar os pontos de interseção, resolvemos simultaneamente as equações: y=x^2 e x=y^2. Substituindo y=x^2 em x=y^2 x=(x^2)^2=x^4, ou seja x^4-x=0 que resulta em x=0 ou x=1. Assim, as curvas se encontram em (0,0) e (1,1). Como estamos na primeira região onde y=x^2 fica abaixo de y=raizx, a descrição de A é
A=(x,y):0<= x<=1,;x^2<= y<=raizx

Passo 3

Agora montamos a integral iterada trocando a ordem típica dy,dx:
integral duplaAxy,dx,dy=integralx=0^1l(integraly=x^2^raizxxy,dyr)dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integralx^2^raizxxy,dy = x[y^22]y=x^2^y=raizx = xl(x2-x^42r)=x^22-x^52

Passo 5

Falta só integrar em x de 0 a 1:
integral0^1l(x^22-x^52r)dx = 12[x^33-x^66]0^1 = 12l(13-16r)=112

Resposta

112

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