Calcular integral duplaA f(x, y) d x d y com f e A definidos por:
f(x, y)=x^5 cos (y^3) e A=(x, y) in R^2: y >= x^2, x^2+y^2 <= 2.

Passo 1

Estamos calculando a integral dupla integral duplaA x^5 cos(y^3),dx,dy sobre a região A=(x,y)in R^2: y>= x^2,;x^2+y^2<=2. O assunto aqui é integrais duplas e propriedades de simetria de domínio e paridade de função.

Passo 2

Observamos que a região A é simétrica em relação ao eixo y: se (x,y)in A, então (-x,y) também pertence a A, pois y>= x^2 implica y>=(-x)^2 e x^2+y^2<=2 é inalterado ao trocar x por -x.

Passo 3

Note que a função f(x,y)=x^5cos(y^3) satisfaz f(-x,y)=(-x)^5cos(y^3)=-x^5cos(y^3)=-f(x,y), ou seja, é ímpar em x. Pela propriedade de integrais de funções ímpares em domínios simétricos em x, temos que a integral se anula.

Resposta

0

Exercícios relacionados