Calcular integral duplaA f(x, y) d x d y com f e A definidos por:
f(x, y)=e^y^2 e A=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 1,0 <= y <= x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaA e^y^2,dx,dy onde A é o triângulo definido por 0<= x<=1 e 0<= y<= x. Vamos usar o Teorema de Fubini para montar a integral iterada e depois trocar a ordem de integração.

Passo 2

Usando Fubini, escrevemos:
integral duplaA e^y^2,dx,dy = integralx=0^1 integraly=0^x e^y^2,dy,dx

Passo 3

Para evitar integrar diretamente e^y^2 em y com limite dependente de x, trocamos a ordem. Na região A, y vai de 0 a 1 e, para cada y, x vai de y a 1. Assim:
integralx=0^1 integraly=0^x e^y^2,dy,dx = integraly=0^1 integralx=y^1 e^y^2,dx,dy

Passo 4

Agora integramos em x, pois e^y^2 é constante em relação a x:
integralx=y^1 e^y^2,dx = (1 - y),e^y^2
Assim a integral reduz a
integraly=0^1 (1 - y),e^y^2,dy

Passo 5

Dividindo em duas partes:
integral0^1 e^y^2,dy - integral0^1 y,e^y^2,dy

Passo 6

Na segunda parte, fazemos u=y^2, du=2y,dy, obtendo:
integral0^1 y,e^y^2,dy = tfrac12integral0^1 e^u,du = e-12

Passo 7

Portanto a integral vale integral0^1 e^y^2,dy - tfrace-12. Como integral0^1 e^y^2,dy não tem forma elementar, expressamos em termos de função erro imaginária.

Resposta

raizpi2,erfi(1) - e-12

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