Calcular a ûÀrea da regiûÈo A limitada pelas curvas x=4-y^2, y=2 e x+y+2=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola x = 4 - y^2, pela reta horizontal y = 2 e pela reta x + y + 2 = 0. Aqui o conteúdo é cálculo de áreas por integração dupla reduzida (ou única) e vamos usar integrais simples em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro determinamos o intervalo de variação de y. As curvas x = 4 - y^2 e x = -y - 2 se intersectam onde
4 - y^2 = -y - 2
o que leva a
y^2 - y - 6 = 0 implies y = 3 ou y = -2
Como a reta y = 2 é a cota superior, a região fica entre y = -2 e y = 2.

Passo 3

Para cada y em [-2,2], o limite esquerdo de x é dado por xL = -y - 2 e o direito por xR = 4 - y^2. Então a área é
A = integraly=-2^2 l(xR - xLr),dy = integral-2^2 l[(4 - y^2) - (-y - 2)r]dy = integral-2^2 (6 + y - y^2),dy

Passo 4

Agora calculamos a integral. Seja
F(y) = integral (6 + y - y^2),dy = 6y + tfracy^22 - tfracy^33
Então
A = F(2) - F(-2) = l(12 + 2 - tfrac83r) - l(-12 + 2 + tfrac83r) = l(14 - tfrac83r) - l(-10 + tfrac83r) = tfrac343 + tfrac223 = tfrac563

Resposta

563

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