Calcule a integral integralD integral x e^y d A onde D é a região limitada pelo eixo-y, pela reta x=1, a parábola y=x^2, e a reta y=x.
[
\left(\mathrm{V}=\frac{3}{2}-\frac{e}{2} \quad u.v.\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD x e^y,dA, onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelo eixo y, pela reta x=1, pela parábola y=x^2 e pela reta y=x. O conteúdo aqui é integral dupla em coordenadas cartesianas, então vamos ter que montar uma integral iterada.

Passo 2

Para descrever D, observamos que x varia de 0 até 1 e, para cada x fixo, y varia de y=x^2 (curva inferior) até y=x (linha superior). Assim temos
integral duplaD x e^y,dA = integralx=0^1 l(integraly=x^2^x x e^y,dyr) dx

Passo 3

Vamos calcular primeiro a integral interna em y. Como x é tratado como constante, temos
integraly=x^2^x x e^y,dy = xl[e^yr]y=x^2^y=x = xl(e^x - e^x^2r)
Logo a integral passa a
integral0^1 xl(e^x - e^x^2r) dx = integral0^1 x e^x dx - integral0^1 x e^x^2 dx

Passo 4

Agora separamos em duas integrais:
  1. integral0^1 x e^x dx. Fazendo integração por partes: seja u=x, dv=e^xdx, então du=dx, v=e^x. Logo
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = x e^x - e^x + C
Avaliando de 0 a 1 dá
l[x e^x - e^xr]0^1 = (1cdot e - e) - (0 - 1) = 1
  1. integral0^1 x e^x^2 dx. Fazendo substituição t = x^2, dt = 2x dx, ou x dx = dt/2. Os limites vão de t=0 a t=1. Então
integral0^1 x e^x^2 dx = 12 integral0^1 e^t dt = 12(e-1)

Passo 5

Subtraindo as duas partes temos
integral duplaD x e^y,dA = 1 - 12(e-1) = 32 - e2

Resposta

32 - e2

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