Calcule a integral
onde D é a região limitada pelo eixo-y, pela reta
, a parábola
, e a reta
.
[
\left(\mathrm{V}=\frac{3}{2}-\frac{e}{2} \quad u.v.\right)
\left(\mathrm{V}=\frac{3}{2}-\frac{e}{2} \quad u.v.\right)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelo eixo
, pela reta
, pela parábola
e pela reta
. O conteúdo aqui é integral dupla em coordenadas cartesianas, então vamos ter que montar uma integral iterada.
Passo 2
Para descrever D, observamos que
varia de 0 até 1 e, para cada
fixo,
varia de
(curva inferior) até
(linha superior). Assim temos
Passo 3
Vamos calcular primeiro a integral interna em
. Como
é tratado como constante, temos
Logo a integral passa a
Passo 4
Agora separamos em duas integrais:
-
. Fazendo integração por partes: seja , , então , . Logo
Avaliando de 0 a 1 dá
-
. Fazendo substituição , , ou . Os limites vão de a . Então
Passo 5
Subtraindo as duas partes temos