Seja f: R^2 R a função definida por
f(x, y)=x^2+2 y^2
Seja A o subconjunto de R^2 definido por
A=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 1
Encontrar os extremos de f na região A.

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^2+2y^2 definida no disco A=(x,y)inR^2:x^2+y^2<=1. Vamos buscar máximos e mínimos nesse domínio. O procedimento envolve achar pontos críticos dentro de A usando nabla f=0, verificar a natureza via Hessiana e analisar o contorno x^2+y^2=1.

Passo 2

Computamos nabla f(x,y)=(partial f/partial x,partial f/partial y)=(2x,4y). Igualando a zero, obtemos o ponto crítico (x,y)=(0,0).

Passo 3

Para ver se (0,0) é mínimo ou máximo, calculamos a Hessiana:
nabla^2 f(x,y)= 2 & 0 0 & 4
Como os autovalores são positivos (2 e 4), a Hessiana é definida positiva e (0,0) é ponto de mínimo.

Passo 4

Agora investigamos o contorno x^2+y^2=1. Substituindo x^2=1-y^2 em f, temos
f=1-y^2+2y^2=1+y^2
Esse valor cresce conforme |y| aumenta, então atinge seu máximo quando |y|=1, ou seja, nos pontos (0,1) e (0,-1).

Resposta

O valor mínimo de f em A é 0, atingido no ponto (0,0). O valor máximo de f em A é 2, atingido nos pontos (0,1) e (0,-1).

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