Seja
a função definida por
Seja
o subconjunto de
definido por
Encontrar os extremos de
na região
.
Passo 1
Temos a função
definida no disco
. Vamos buscar máximos e mínimos nesse domínio. O procedimento envolve achar pontos críticos dentro de
usando
, verificar a natureza via Hessiana e analisar o contorno
.
Passo 2
Computamos
. Igualando a zero, obtemos o ponto crítico
.
Passo 3
Para ver se
é mínimo ou máximo, calculamos a Hessiana:
Como os autovalores são positivos (2 e 4), a Hessiana é definida positiva e
é ponto de mínimo.
Passo 4
Agora investigamos o contorno
. Substituindo
em
, temos
Esse valor cresce conforme
aumenta, então atinge seu máximo quando
, ou seja, nos pontos
e
.
Resposta
O valor mínimo de f em A é 0, atingido no ponto (0,0). O valor máximo de f em A é 2, atingido nos pontos (0,1) e (0,-1).