Calcular integral duplaA f(x, y) d x d y com f e A definidos por:
f(x, y)=y1+x^2 e A=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 4,0 <= y <= raizx;

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla de f(x,y)= y1+x^2 sobre a região A definida por 0≤x≤4 e 0≤y≤√x. O conteúdo principal aqui é integração dupla usando o teorema de Fubini e, depois, uma substituição simples para tratar a integral em x.

Passo 2

Aplicamos o teorema de Fubini e integramos primeiro em y. Reescrevendo a integral:
integral duplaA f(x,y),dx,dy = integral0^4 integral0^raizx y1+x^2 ,dy,dx
Como 1 /(1+x^2) é constante em y, temos:
integral0^raizx y1+x^2 ,dy = 11+x^2 integral0^raizx y ,dy = 11+x^2 cdot x2 = x2(1+x^2)
Logo,
integral duplaA f = integral0^4 x2(1+x^2) ,dx = 12 integral0^4 x1+x^2 ,dx

Passo 3

Para resolver integral0^4 x1+x^2 ,dx fazemos a substituição u=1+x², du=2x dx. Então
integral0^4 x1+x^2 ,dx = 12 integralu=1^17 1u ,du = 12 [ln u]1^17 = 12 ln 17
Voltando ao fator tfrac12 que tínhamos, o resultado final é
12 cdot 12 ln 17 = 14 ln 17

Resposta

14 ln 17

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