Questão 5: Nos exercícios a seguir, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disto.
-2 & se x<0 2 & se 0 <= x
(a) lim x 0^+ f(x); (b) lim x 0^- f(x); © lim x 0 f(x)

Passo 1

Nesta questão, temos uma função definida por partes e precisamos esboçar o gráfico e calcular limites lateral direito, lateral esquerdo e bilateral em x=0. O tema é limite de função e vamos usar a definição de limite lateral e a condição de igualdade entre limites laterais para existir limite bilateral.

Passo 2

Para esboçar o gráfico, note que para x<0 temos f(x)=−2, que é uma reta horizontal em y=−2. No ponto x=0 essa parte não inclui o valor, então desenhamos um círculo aberto em (0,−2). Para x≥0 temos f(x)=2, que é uma reta horizontal em y=2, incluindo o ponto (0,2) com círculo fechado. Assim vemos salto na altura da função em x=0.

Passo 3

Para calcular o limite pela direita, use que para qualquer x>0, mesmo bem próximo de 0, f(x)=2. Logo, pela definição de limite lateral,
limxto0^+f(x)=2

Passo 4

Para o limite pela esquerda, para qualquer x<0, perto de 0, f(x)=−2. Portanto,
limxto0^-f(x)=-2

Passo 5

Para o limite bilateral em x=0, precisamos que os limites lateral direito e esquerdo sejam iguais. Como temos
limxto0^+f(x)=2elimxto0^-f(x)=-2,
esses valores são diferentes, logo o limite em x=0 não existe.

Resposta

(a) 2; (b) −2; © não existe

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