Integre as equações abaixo para encontrar a expressão geral de x(t) :
d^2 x(t)d t^2=a e^-t / t0, a, t0= const.

Passo 1

O enunciado pede para integrar duas vezes a equação dfracd^2xdt^2 = a e^-t/t0. O conteúdo é resolução de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem por integração direta, e vamos precisar usar a integral de e^-t/t0.

Passo 2

Integramos uma vez para obter a velocidade v(t)=dfracdxdt. Visto que
integral a e^-t/t0 ,dt = a l(-t0 e^-t/t0r) + C1 = -a t0 e^-t/t0 + C1,
então
$$
v(t) = -a t_{0} e^{-t/t_{0}} + C_{1}.
$$

Passo 3

Integramos pela segunda vez para achar x(t). Temos
integral l(-a t0 e^-t/t0 + C1r) ,dt = -a t0 integral e^-t/t0 ,dt + C1 t + C2
Como integral e^-t/t0 dt = -t0 e^-t/t0, vem
$$
-a t_{0} \bigl(-t_{0} e^{-t/t_{0}}\bigr) + C_{1} t + C_{2} = a t_{0}^{2} e^{-t/t_{0}} + C_{1} t + C_{2}.
$$

Resposta

x(t) = a t0^2 e^-t/t0 + C1 t + C2

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