Calcular
integral duplaS F cdot d A
onde
F=lang<= z^2 x, y^33+tan (z), z x^2+y^2rang<=
eSé1:
x^2+y^2+z^2=1, z >= 0
com orientação para cima .

Passo 1

Resumo: queremos calcular o fluxo integral duplaSvec Fcdot dvec A onde vec F=lang<= z^2x,,tfracy^33+tan z,,zx^2+y^2rang<= e S é a semiesfera x^2+y^2+z^2=1, z>=0, com orientação para cima. O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema da Divergência, junto com o cálculo de fluxo através do disco que fecha a semiesfera.

Passo 2

Calcular a divergência de vec F:
nablacdotvec F=partialpartial x(z^2x)+partialpartial yl(tfracy^33+tan zr)+partialpartial z(zx^2+y^2)=z^2+y^2+x^2

Passo 3

Aplicar o Teorema da Divergência ao volume V da semiesfera:

Passo 4

Em coordenadas esféricas ( rin[0,1], thetain[0,pi/2], phiin[0,2pi]):
integral triplaVr^2,dV=integral0^2pidphiintegral0^pi/2sintheta,dthetaintegral0^1r^4,dr=2picdot1cdot15=2pi5

Passo 5

Separar a superfície fechada em semiesfera S mais disco D em z=0. No disco a normal exterior ao volume é vec n=-hat k. Em z=0:
vec F( x,y,0)=lang<=0,,y^3/3,,y^2rang<=Rightarrowvec Fcdot(-hat k)=-y^2

Passo 6

Calcular o fluxo no disco:
integral duplaD(-y^2)dA= -integral0^1integral0^2pi(r^2sin^2theta),r,dphi,dr=-l(tfrac14cdotpir)=-pi4

Passo 7

Usar Phifechada=PhiS+PhiD e resolver para PhiS:
PhiS=2pi5-l(-pi4r)=2pi5+pi4=13pi20

Resposta

13pi20

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