Calcule a integral.
\int_{0}^{\pi} \cos ^{4}(2 t) d t

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos^{4}(2t)\,\mathrm{d}t.
O conteúdo aqui é redução de potência para funções trigonométricas: vamos transformar \cos^{4}(2t) em soma de cossenos de múltiplos de t, o que facilita a integração.

Passo 2

Começamos por reduzir a potência:
\cos^{2}(2t)=\frac{1+\cos(4t)}{2}.
Elevando ao quadrado,
\cos^{4}(2t)=\Bigl(\cos^{2}(2t)\Bigr)^{2} =\frac{\bigl(1+\cos(4t)\bigr)^{2}}{4} =\frac{1+2\cos(4t)+\cos^{2}(4t)}{4}.
E como
\cos^{2}(4t)=\frac{1+\cos(8t)}{2},
temos
\cos^{4}(2t) =\frac{1+2\cos(4t)}{4}+\frac{1+\cos(8t)}{8} =\frac{3+4\cos(4t)+\cos(8t)}{8}.

Passo 3

Substituindo na integral,
\int_{0}^{\pi}\cos^{4}(2t)\,\mathrm{d}t =\int_{0}^{\pi}\frac{3+4\cos(4t)+\cos(8t)}{8}\,\mathrm{d}t =\frac{3}{8}\int_{0}^{\pi}1\,\mathrm{d}t +\frac{4}{8}\int_{0}^{\pi}\cos(4t)\,\mathrm{d}t +\frac{1}{8}\int_{0}^{\pi}\cos(8t)\,\mathrm{d}t.

Passo 4

Calculamos termo a termo:
\int_{0}^{\pi}1\,\mathrm{d}t=\pi,\quad \int_{0}^{\pi}\cos(4t)\,\mathrm{d}t=\left.\frac{\sin(4t)}{4}\right|_{0}^{\pi}=0,\quad \int_{0}^{\pi}\cos(8t)\,\mathrm{d}t=\left.\frac{\sin(8t)}{8}\right|_{0}^{\pi}=0.
Logo
\int_{0}^{\pi}\cos^{4}(2t)\,\mathrm{d}t =\frac{3}{8}\,\pi + 0 + 0 =\frac{3\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{8}

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