Calcular a integral por frações parciais
\int \frac{x}{(x+2)(4 x-1)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x}{(x+2)(4x-1)}\,dx
Esse é um caso clássico de função racional própria (o grau do numerador é menor que o do denominador), então vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Escrevemos
\frac{x}{(x+2)(4x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{4x-1}.
Multiplicando ambos os lados por (x+2)(4x-1)\), obtemos \[x = A(4x-1) + B(x+2) = (4A + B)\,x + (-A + 2B).
Comparando coeficientes de x e termo constante:
\begin{cases} 4A + B = 1,\\\\ -\,A + 2B = 0. \end{cases}
Da segunda equação segue (A = 2B]. Substituindo na primeira:
4(2B) + B = 1 \quad\Longrightarrow\quad 9B = 1 \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{1}{9},\; A = \tfrac{2}{9}.

Passo 3

Substituindo na integral:
\int \frac{x}{(x+2)(4x-1)}\,dx = \int \Bigl(\tfrac{2/9}{x+2} + \tfrac{1/9}{4x-1}\Bigr)\,dx = \frac{2}{9}\int \frac{dx}{x+2} + \frac{1}{9}\int \frac{dx}{4x-1}.
Sabemos que
\int \frac{dx}{x+2} = \ln\lvert x+2\rvert, \qquad \int \frac{dx}{4x-1} = \frac{1}{4}\,\ln\lvert 4x-1\rvert.

Passo 4

Portanto
\int \frac{x}{(x+2)(4x-1)}\,dx = \frac{2}{9}\,\ln\lvert x+2\rvert + \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{4}\,\ln\lvert 4x-1\rvert + C = \frac{2}{9}\ln\lvert x+2\rvert + \frac{1}{36}\ln\lvert 4x-1\rvert + C.

Resposta

\int \frac{x}{(x+2)(4x-1)}\,dx = \frac{2}{9}\ln\lvert x+2\rvert + \frac{1}{36}\ln\lvert 4x-1\rvert + C.

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