Nos seguintes problemas, determine se as seqüências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
(-1)^n sen(n)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = (-1)^n sin(n)
O conteúdo envolve limites de sequências reais e o uso de subsequências como critério de convergência.

Passo 2

Se uma sequência converge para um limite L, então toda subsequência convergiria para o mesmo L. Vamos construir uma subsequência ank que tende a um valor.
Como os restos de n módulo 2pi são densos em [0,2pi], existem inteiros pares nk tais que
sin(nk)longrightarrow 1
Para esses nk pares temos (-1)^nk=1, então
ank = sin(nk)longrightarrow 1

Passo 3

Agora construímos outra subsequência amk com mk ímpares e também sin(mk)to1. Nesse caso (-1)^mk=-1, logo
amk = -sin(mk)longrightarrow -1

Passo 4

Encontramos duas subsequências com limites distintos ( 1 e -1), o que impede existência de limite único. Portanto, a sequência (-1)^nsin(n) não converge.

Resposta

A sequência diverge.

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