Nos seguintes problemas, determine se as seqüências convergem ou divergem.Se convergirem, determine o limite.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
O conteúdo envolve limites de sequências reais e o uso de subsequências como critério de convergência.
Passo 2
Se uma sequência converge para um limite
, então toda subsequência convergiria para o mesmo
. Vamos construir uma subsequência
que tende a um valor.
Como os restos de módulo
são densos em
, existem inteiros pares
tais que
Como os restos de
Para esses
pares temos
, então
Passo 3
Agora construímos outra subsequência
com
ímpares e também
. Nesse caso
, logo
Passo 4
Encontramos duas subsequências com limites distintos (
e
), o que impede existência de limite único. Portanto, a sequência
não converge.
Resposta
A sequência diverge.