Nos exercícios 45 a 67, calcular a integral indefinida:
integral(1-4 t^2)^3 / 2 d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral(1-4t^2)^3/2,dt
O conteúdo aqui é substituição trigonométrica, usando a identidade 1-sin^2theta=cos^2theta. Vamos escolher uma mudança de variável que faça 1-4t^2 virar cos^2theta.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = tfrac12sintheta,
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dt = tfrac12costheta,dtheta,
e
1-4t^2 = 1-sin^2theta = cos^2theta
Assim
(1-4t^2)^3/2 = (cos^2theta)^3/2 = cos^3theta

Passo 3

Substituindo na integral original,
integral(1-4t^2)^3/2,dt = integral cos^3theta ,l(tfrac12costheta,dthetar) = tfrac12integral cos^4theta,dtheta

Passo 4

Usamos a fórmula de redução de potência:
cos^4theta = 3 + 4cos2theta + cos4theta8
Então
tfrac12integral cos^4theta,dtheta = integral 3 + 4cos2theta + cos4theta16,dtheta = 116integrall(3 + 4cos2theta + cos4thetar),dtheta

Passo 5

Integramos termo a termo:
116l[ 3theta + 4cdotsin2theta2 + sin4theta4 r] + C = 3theta16 + sin2theta8 + sin4theta64 + C

Passo 6

Voltamos a t. Como t=tfrac12sintheta, temos
sintheta = 2t, theta = arcsin(2t),
costheta = raiz1-sin^2theta = raiz1-4t^2,
sin2theta = 2sinthetacostheta = 4traiz1-4t^2,
cos2theta = 1-2sin^2theta = 1-8t^2,
sin4theta = 2sin2thetacos2theta = 8t(1-8t^2)raiz1-4t^2
Substituindo em cada termo e juntando, chega-se a
integral(1-4t^2)^3/2,dt = t(5-8t^2)raiz1-4t^28 + 316arcsin(2t) + C

Resposta

boxedintegral(1-4t^2)^3/2,dt = t(5-8t^2)raiz1-4t^28 + 316arcsin(2t) + C

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