Para as curvas abaixo encontre um vetor tangente e um vetor normal:
r(t)=\left(t e^{t}, \cos 2 t, t^{3}\right)\

Passo 1

Estamos trabalhando com a curva paramétrica
r(t)=\bigl(t e^{t},\;\cos 2t,\;t^{3}\bigr),
e queremos encontrar um vetor tangente e um vetor normal em termos de t. Para isso vamos usar que:
  1. O vetor velocidade é r'(t), e a direção do vetor tangente pode ser dada por ele ou por sua versão unitária
T(t)=\frac{r'(t)}{\|r'(t)\|}.
  1. Um vetor normal à curva é qualquer vetor perpendicular a T(t). Uma forma prática é projetar a aceleração r''(t) na direção ortogonal a T(t), ou seja
n(t)=r''(t)-\bigl(r''(t)\cdot T(t)\bigr)\,T(t).

Passo 2

Calcular r'(t). Derivando componente a componente:
\frac{d}{dt}\bigl(t e^{t}\bigr)=e^{t}+t\,e^{t},\quad \frac{d}{dt}\bigl(\cos2t\bigr)=-2\sin2t,\quad \frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2}.
Logo,
r'(t)=\bigl(e^{t}(1+t),\;-2\sin2t,\;3t^{2}\bigr).

Passo 3

Obter o vetor tangente unitário T(t). Primeiro a norma de r'(t):
\|r'(t)\| =\sqrt{\bigl(e^{t}(1+t)\bigr)^{2}+\bigl(-2\sin2t\bigr)^{2}+\bigl(3t^{2}\bigr)^{2}}.
Então
T(t) =\frac{1}{\|r'(t)\|} \bigl(e^{t}(1+t),\;-2\sin2t,\;3t^{2}\bigr).

Passo 4

Calcular r''(t), que virá na definição do vetor normal. Derivando r'(t):
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}(1+t)\bigr) =e^{t}(1+t)+e^{t}=e^{t}(2+t),\quad \frac{d}{dt}\bigl(-2\sin2t\bigr)=-4\cos2t,\quad \frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)=6t.
Portanto
r''(t)=\bigl(e^{t}(2+t),\;-4\cos2t,\;6t\bigr).

Passo 5

Construir um vetor normal n(t) como componente de r''(t) ortogonal a T(t):
n(t) =r''(t)-\bigl(r''(t)\cdot T(t)\bigr)\,T(t).
Aqui
r''(t)\cdot T(t) =\frac{1}{\|r'(t)\|}\Bigl[e^{t}(2+t)\,e^{t}(1+t)+(-4\cos2t)(-2\sin2t)+(6t)(3t^{2})\Bigr].
Substituindo esse escalar em cima, obtemos explicitamente um vetor perpendicular a T(t).

Resposta

Vetor tangente (unitário):
T(t) =\frac{1}{\sqrt{\bigl(e^{t}(1+t)\bigr)^{2}+(-2\sin2t)^{2}+(3t^{2})^{2}}} \bigl(e^{t}(1+t),\;-2\sin2t,\;3t^{2}\bigr).
Vetor normal (não unitário) em forma projetada:
n(t) =r''(t)-\bigl(r''(t)\cdot T(t)\bigr)\,T(t),
com
r''(t)=\bigl(e^{t}(2+t),\;-4\cos2t,\;6t\bigr).

Exercícios relacionados