Para calcular a integral I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{\operatorname{sen}(x)}, podemos proceder como segue:
(a) (1 ponto) Mostre que I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{\operatorname{sen}(x)}=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\operatorname{sen}(x) d x}{\operatorname{sen}^{2}(x)}=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{d u}{1-u^{2}};
(b) (2 pontos) Calcule I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{d u}{1-u^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I=\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\frac{dx}{\sin x}.
No item (a) vamos reescrever essa integral, multiplicando numerador e denominador por \sin x e usando a substituição u=\cos x; no item (b) vamos avaliar a integral resultante
\int_{0}^{\frac{\sqrt2}{2}}\frac{du}{1-u^2}
por frações parciais.

Passo 2

Multiplicando numerador e denominador por \sin x temos
\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\frac{dx}{\sin x} =\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\frac{\sin x\,dx}{\sin^2 x}.

Passo 3

Fazendo u=\cos x implica du=-\sin x\,dx e \sin^2 x=1-u^2. Quando x=\tfrac\pi4, u=\tfrac{\sqrt2}2; quando x=\tfrac\pi2, u=0. Logo
\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\frac{\sin x\,dx}{\sin^2 x} =\int_{\frac{\sqrt2}{2}}^{0}\frac{-\,du}{1-u^2} =\int_{0}^{\frac{\sqrt2}{2}}\frac{du}{1-u^2}.

Passo 4

Para integrar
\int_{0}^{\frac{\sqrt2}{2}}\frac{du}{1-u^2}
usamos frações parciais:
\frac{1}{1-u^2} =\frac12\Bigl(\frac1{1-u}+\frac1{1+u}\Bigr).
Assim
\int_{0}^{\frac{\sqrt2}{2}}\frac{du}{1-u^2} =\frac12\int_{0}^{\frac{\sqrt2}{2}}\Bigl(\frac1{1-u}+\frac1{1+u}\Bigr)du =\frac12\bigl[-\ln|1-u|+\ln|1+u|\bigr]_{0}^{\frac{\sqrt2}{2}}
=\frac12\ln\!\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{1-\frac{\sqrt2}{2}} =\ln\bigl(1+\sqrt2\bigr).

Resposta

\ln(1+\sqrt2)

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