Considere o cálculo de I=\int\left(1-x^{2}\right)^{3 / 2} d x.
(a) (2 pontos) Obtenha uma substituição tal que I=\int \cos ^{4}(t) d t=\int \frac{(1+\cos (2 t))^{2}}{4} d t.
(b) (1 ponto) Calcule a integral do item anterior.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
I=\int (1 - x^2)^{3/2}\,dx
e, em (a), mostre uma substituição que leva a
I=\int \cos^4(t)\,dt \quad\text{e}\quad \int \cos^4(t)\,dt = \int \frac{\bigl(1+\cos(2t)\bigr)^2}{4}\,dt.
Em (b) a gente deve então avaliar essa integral em t. Vamos usar a substituição trigonométrica clássica para potências de \sqrt{1-x^2}.

Passo 2

Proponho
x = \sin(t),
logo
dx = \cos(t)\,dt \quad\text{e}\quad 1 - x^2 = 1 - \sin^2(t) = \cos^2(t).
Assim
(1 - x^2)^{3/2} = \bigl(\cos^2(t)\bigr)^{3/2} = \cos^3(t),
e o integrando vira
(1 - x^2)^{3/2}\,dx = \cos^3(t)\,\bigl(\cos(t)\,dt\bigr) = \cos^4(t)\,dt.
Logo confirmamos
I = \int (1 - x^2)^{3/2}\,dx = \int \cos^4(t)\,dt.

Passo 3

Para verificar a identidade com \tfrac{(1+\cos2t)^2}{4}, note que
\cos^4(t) = \Bigl(\cos^2(t)\Bigr)^2 = \Bigl(\tfrac{1+\cos(2t)}{2}\Bigr)^2 = \frac{\bigl(1+\cos(2t)\bigr)^2}{4}.
Portanto
I = \int \cos^4(t)\,dt = \int \frac{\bigl(1+\cos(2t)\bigr)^2}{4}\,dt.

Passo 4

Agora expandimos e integramos em t:
\frac{\bigl(1+\cos(2t)\bigr)^2}{4} = \frac{1 + 2\cos(2t) + \cos^2(2t)}{4} = \frac{1}{4} + \frac{\cos(2t)}{2} + \frac{1+\cos(4t)}{8}.
Então
\int \cos^4(t)\,dt = \int\!\Bigl(\tfrac{1}{4} + \tfrac{\cos(2t)}{2} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{\cos(4t)}{8}\Bigr)\,dt = \int\!\Bigl(\tfrac{3}{8} + \tfrac{\cos(2t)}{2} + \tfrac{\cos(4t)}{8}\Bigr)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int \tfrac{3}{8}\,dt = \tfrac{3}{8}\,t, \quad \int \tfrac{\cos(2t)}{2}\,dt = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{\sin(2t)}{2} = \tfrac{1}{4}\,\sin(2t), \quad \int \tfrac{\cos(4t)}{8}\,dt = \tfrac{1}{8}\cdot \tfrac{\sin(4t)}{4} = \tfrac{1}{32}\,\sin(4t).

Resposta

\boxed{ \int \cos^4(t)\,dt = \frac{3}{8}\,t \;+\; \frac{1}{4}\,\sin(2t)\;+\; \frac{1}{32}\,\sin(4t)\;+\;C. }

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