Considere o cálculo de
.
(a) (2 pontos) Obtenha uma substituição tal que
.
(b) (1 ponto) Calcule a integral do item anterior.
(a) (2 pontos) Obtenha uma substituição tal que
(b) (1 ponto) Calcule a integral do item anterior.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule
e, em (a), mostre uma substituição que leva a
Em (b) a gente deve então avaliar essa integral em
. Vamos usar a substituição trigonométrica clássica para potências de
.
Passo 2
Proponho
logo
Assim
e o integrando vira
Logo confirmamos
Passo 3
Para verificar a identidade com
, note que
Portanto
Passo 4
Agora expandimos e integramos em
:
Então
Integramos termo a termo: