Calcular o volume do sólido delimutado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9 e pelo plano z+y=3, no primeiro octante.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos o volume do sólido em que
x^{2}+y^{2}\le9 (cilindro de raio 3),
z+y=3 (plano que intercepta o eixo z),
– estamos no primeiro octante x\ge0, y\ge0, z\ge0.
Para resolver, vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, e montar uma integral tripla.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas:
– a projeção no plano xy é o quarto de disco de raio 3, logo \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e r\in[0,3];
– a altura z vai de 0 até a superfície dada por z=3-y=3-r\sin\theta.
Assim, o elemento de volume é dV=r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

O volume é
V=\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{3} \int_{z=0}^{\,3 - r\sin\theta} r \;dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{3 - r\sin\theta}r\,dz = r\bigl[z\bigr]_{0}^{3 - r\sin\theta} = r\,(3 - r\sin\theta).
Logo
V=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{3} \bigl(3r - r^{2}\sin\theta\bigr) \,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos em r:
\int_{0}^{3}(3r - r^{2}\sin\theta)\,dr = \left[\frac{3r^{2}}{2} - \frac{r^{3}\sin\theta}{3}\right]_{0}^{3} = \frac{3\cdot9}{2} - \frac{27\sin\theta}{3} = \frac{27}{2} - 9\sin\theta.
Então
V=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \Bigl(\frac{27}{2} - 9\sin\theta\Bigr) \,d\theta.

Passo 6

Agora em \theta:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \Bigl(\tfrac{27}{2} - 9\sin\theta\Bigr) \,d\theta = \left[\frac{27}{2}\,\theta +9\cos\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{27}{2}\,\frac{\pi}{2} + 9\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - \bigl(0 + 9\cos0\bigr) = \frac{27\pi}{4} - 9.

Resposta

V = \frac{27\pi}{4} - 9.

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