(Valor: 2,5 ) Seja \gamma o triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (1,1), percorrido no sentido horário.
(a) Calcule \int_{\gamma} F d r, onde F é um campo de vetores do plano dado por F(x, y)=\left(x y^{2}, x y\right).
(b) O valor da integral acima mudaria caso o sentido da curva fosse percorrer o triângulo no sentido anti-horário? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada \displaystyle \int_{\gamma}F\cdot d r
onde \displaystyle F(x,y)=(x y^2,\;x y) e \gamma é o triângulo de vértices (0,0), (2,0), (1,1) percorrido no sentido horário.
Conteúdo: usar o Teorema de Green para campos vetoriais no plano e levar em conta que o sentido horário inverte o sinal da fórmula padrão (que é para orientação anti-horária).

Passo 2

Calcule as derivadas parciais necessárias ao Teorema de Green:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial (x y)}{\partial x}=y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial (x y^2)}{\partial y}=2\,x\,y.
Logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =y-2xy =y\,(1-2x).

Passo 3

Pelo Teorema de Green, para orientação anti-horária (positiva) valeria
\oint_{\partial D}F\cdot dr =\iint_{D}\bigl(y-2xy\bigr)\,dA.
Como \gamma é percorrida no sentido horário, a integral de linha vale o negativo disso:
\int_{\gamma}F\cdot dr =-\iint_{D}y\,(1-2x)\,dA.
Aqui D é o triângulo com vértices (0,0), (2,0), (1,1). Para integrar em coordenadas cartesianas, note que para 0\le x\le1 a fronteira superior é y=x e para 1\le x\le2 é y=2-x.

Passo 4

Calcule
I=\iint_{D}y\,(1-2x)\,dA = \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{x}y(1-2x)\,dy\,dx + \int_{1}^{2}\!\int_{0}^{2-x}y(1-2x)\,dy\,dx.
Em cada caso \displaystyle \int_{0}^{y_{\rm max}}y\,dy = \tfrac{y_{\rm max}^2}{2}. Para 0\le x\le1:
\int_{0}^{x}y(1-2x)\,dy =(1-2x)\,\frac{x^2}{2} =\frac{x^2}{2}-x^3.
Integrando em x\in[0,1]:
\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{x^2}{2}-x^3\Bigr)dx =\Bigl[\tfrac{x^3}{6}-\tfrac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{4} =-\tfrac{1}{12}.

Passo 5

Para 1\le x\le2:
\int_{0}^{2-x}y(1-2x)\,dy =(1-2x)\,\frac{(2-x)^2}{2}.
Logo
\int_{1}^{2}(1-2x)\,\frac{(2-x)^2}{2}\,dx =\frac12\int_{1}^{2}(x-2)^2(1-2x)\,dx =-\frac{1}{4}.
Somando as duas partes:
I=-\tfrac{1}{12}-\tfrac{1}{4} =-\tfrac{1}{12}-\tfrac{3}{12} =-\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Portanto
\int_{\gamma}F\cdot dr =-I =-\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) =\tfrac{1}{3}.

Passo 7

Se a curva fosse percorrida no sentido anti-horário (orientação positiva), não haveria o sinal extra de menos, e a integral valeria -\tfrac{1}{3}. Assim, inverter o sentido da curva inverte o sinal da integral.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{1}{3}.
(b) Sim. Para sentido anti-horário o resultado seria -\tfrac{1}{3}, pois inverter a orientação muda o sinal da integral de linha fechada.

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