(Valor: 2,5
Seja
o triângulo de vértices
e
, percorrido no sentido horário.
(a) Calcule
, onde
é um campo de vetores do plano dado por
.
(b) O valor da integral acima mudaria caso o sentido da curva fosse percorrer o triângulo no sentido anti-horário? Justifique sua resposta.
(a) Calcule
(b) O valor da integral acima mudaria caso o sentido da curva fosse percorrer o triângulo no sentido anti-horário? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha fechada
onde e
é o triângulo de vértices
,
,
percorrido no sentido horário.
Conteúdo: usar o Teorema de Green para campos vetoriais no plano e levar em conta que o sentido horário inverte o sinal da fórmula padrão (que é para orientação anti-horária).
onde
Conteúdo: usar o Teorema de Green para campos vetoriais no plano e levar em conta que o sentido horário inverte o sinal da fórmula padrão (que é para orientação anti-horária).
Passo 2
Calcule as derivadas parciais necessárias ao Teorema de Green:
Logo o integrando é
Passo 3
Pelo Teorema de Green, para orientação anti-horária (positiva) valeria
Como
é percorrida no sentido horário, a integral de linha vale o negativo disso:
Aqui
é o triângulo com vértices
,
,
. Para integrar em coordenadas cartesianas, note que para
a fronteira superior é
e para
é
.
Passo 4
Calcule
Em cada caso
Para
:
Integrando em
:
Passo 5
Para
:
Logo
Somando as duas partes:
Passo 6
Portanto
Passo 7
Se a curva fosse percorrida no sentido anti-horário (orientação positiva), não haveria o sinal extra de menos, e a integral valeria
. Assim, inverter o sentido da curva inverte o sinal da integral.
Resposta
(a)
(b) Sim. Para sentido anti-horário o resultado seria , pois inverter a orientação muda o sinal da integral de linha fechada.
(b) Sim. Para sentido anti-horário o resultado seria