Utilizando os testes de convergência, analise a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{k-2}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{k-2}
usando testes de convergência. O conteúdo principal aqui é reconhecer que, por mudança de índice ou comparação, essa série se relaciona à série harmônica, que é um caso especial de p-série com p=1.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável n = k - 2. Então, quando k=3, n=1, e quando k\to\infty, n\to\infty. Assim
\sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{k-2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.

Passo 3

Reconhecemos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
é a série harmônica, que é uma p-série com p=1. Pelo teste da p-série, uma soma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}
converge somente se p>1. Como aqui p=1, a série diverge.

Passo 4

Como a série reindexada diverge, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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