CALCULAR A INTEGRAL
\iint_{\boldsymbol{R}} d \boldsymbol{A}, ONDE \boldsymbol{R} É A ÁREA LIMITADA PELA CURVA Y=X^{4} E A RETA Y=4 X.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas y=x^{4} e y=4x. Esse é um problema de área, que podemos resolver determinando os pontos de interseção das curvas e depois montando uma integral simples em x de \text{(função superior)} - \text{(função inferior)}çãçã.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos
x^{4} = 4x
ou seja
x^{4} - 4x = x\,(x^{3}-4)=0.
Logo as soluções reais são
x=0 \quad\text{e}\quad x=\sqrt[3]{4}.

Passo 3

Entre esses valores de x, a curva superior é y=4x e a inferior é y=x^{4}. Assim podemos variar
x\in\bigl[0,\sqrt[3]{4}\bigr] \quad\text{e}\quad y\in\bigl[x^{4},\,4x\bigr].

Passo 4

A área de R é
A = \int_{x=0}^{\sqrt[3]{4}}\!\bigl(4x - x^{4}\bigr)\,dx.
Uma primitiva de 4x - x^{4} é
2x^{2} - \tfrac{1}{5}x^{5},
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A = \left[\,2x^{2} - \tfrac{1}{5}x^{5}\right]_{0}^{\sqrt[3]{4}} = 2\bigl(\sqrt[3]{4}\bigr)^{2} - \tfrac{1}{5}\bigl(\sqrt[3]{4}\bigr)^{5}.

Passo 5

Note que \bigl(\sqrt[3]{4}\bigr)^{2}=4^{2/3} e \bigl(\sqrt[3]{4}\bigr)^{5}=4^{5/3}=4\cdot4^{2/3}. Então
A = 2\cdot4^{2/3} - \tfrac{1}{5}\,4\cdot4^{2/3} = \Bigl(2 - \tfrac{4}{5}\Bigr)4^{2/3} = \tfrac{6}{5}\,4^{2/3}.

Resposta

A = \frac{6}{5}\,4^{2/3}.

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