Calcule a equação da reta tangente à curva dada no ponto P indicado. (y+1) \operatorname{sen} y+2 \ln x=(x-1)^{3}, P=(1,0). Obs: Verifique que P é de fato um ponto da curva.
Passo 1
O enunciado dá a curva definida implicitamente por
(y+1)\sin y + 2\ln x = (x-1)^3
e pede a reta tangente em P=(1,0). O conteúdo aqui é diferenciação implícita para obter \tfrac{dy}{dx} e depois usar a equação ponto-reta:
y - y_0 = m\,(x - x_0).
Passo 2
Verificamos que P pertence à curva, substituindo x=1 e y=0 na equação:
(y+1)\sin y + 2\ln x = (0+1)\sin0 + 2\ln1 = 1\cdot0 + 2\cdot0 = 0,
(x-1)^3 = (1-1)^3 = 0.
Como os dois lados são iguais, P=(1,0) está na curva.
Passo 3
Diferenciando ambos os lados em relação a x, usando regra da cadeia em (y+1)\sin y e \ln x, obtemos: