Calcule a equação da reta tangente à curva dada no ponto P indicado.
(y+1) \operatorname{sen} y+2 \ln x=(x-1)^{3}, P=(1,0). Obs: Verifique que P é de fato um ponto da curva.

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
(y+1)\sin y + 2\ln x = (x-1)^3
e pede a reta tangente em P=(1,0). O conteúdo aqui é diferenciação implícita para obter \tfrac{dy}{dx} e depois usar a equação ponto-reta:
y - y_0 = m\,(x - x_0).

Passo 2

Verificamos que P pertence à curva, substituindo x=1 e y=0 na equação:
(y+1)\sin y + 2\ln x = (0+1)\sin0 + 2\ln1 = 1\cdot0 + 2\cdot0 = 0,
(x-1)^3 = (1-1)^3 = 0.
Como os dois lados são iguais, P=(1,0) está na curva.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a x, usando regra da cadeia em (y+1)\sin y e \ln x, obtemos:
\frac{d}{dx}\bigl((y+1)\sin y\bigr) + \frac{d}{dx}(2\ln x) = \frac{d}{dx}\bigl((x-1)^3\bigr).
Isto dá
\bigl[\sin y + (y+1)\cos y\bigr]\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} = 3(x-1)^2.
Isolando \tfrac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx} = \frac{3(x-1)^2 - \tfrac{2}{x}} {\sin y + (y+1)\cos y}.

Passo 4

Avaliamo em P=(1,0):
numerador:
3(1-1)^2 - \frac{2}{1} = 0 - 2 = -2,
denominador:
\sin0 + (0+1)\cos0 = 0 + 1\cdot1 = 1.
Logo
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,0)} = -2.

Passo 5

A reta tangente em P=(1,0) com coeficiente angular m=-2 é
y - 0 = -2\,(x - 1),
ou seja
y = -2x + 2.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -2x + 2.

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