Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos de f.
f(t)=\frac{1}{t}, \quad 0<t<1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=\frac{1}{t},\quad 0<t<1
e pede os máximos e mínimos locais e absolutos. Aqui vamos usar derivadas para estudar pontos críticos e monotonicidade, e depois analisar o comportamento nos extremos do intervalo aberto.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Usando a regra de potência,
f(t)=t^{-1} \quad\Longrightarrow\quad f'(t)=-1\cdot t^{-2}=-\frac{1}{t^{2}}.

Passo 3

Procuramos pontos críticos em (0,1) resolvendo f'(t)=0 ou onde f' é indefinida. Temos
f'(t)=-\frac{1}{t^{2}}<0
para todo t\in(0,1), logo f'(t)\neq0 e além disso f' só seria indefinida em t=0, mas t=0 não pertence ao domínio. Concluímos que não há pontos críticos em (0,1).

Passo 4

Como f'(t)<0 em todo o domínio, f é estritamente decrescente em (0,1). Em particular não existem máximos ou mínimos locais interiores, pois numa função estritamente monotônica não há vale nem pico interno.

Passo 5

Para extremos absolutos analisamos o comportamento nos limites do intervalo aberto:
  • Quando t\to0^+, f(t)=1/t\to+\infty. Não há valor de t que atinja esse supremo, logo não há máximo absoluto finito.
  • Quando t\to1^-, f(t)=1/t\to1. Embora o ínfimo seja 1, ele não é atingido em nenhum t<1. Portanto não há mínimo absoluto.

Resposta

A função não possui máximo nem mínimo, nem local nem absoluto, em (0,1).
Como informação adicional:
\sup_{0<t<1}f(t)=+\infty, \quad \inf_{0<t<1}f(t)=1.

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