Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os máximos e mínimos locais e absolutos. Aqui vamos usar derivadas para estudar pontos críticos e monotonicidade, e depois analisar o comportamento nos extremos do intervalo aberto.
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Usando a regra de potência,
Passo 3
Procuramos pontos críticos em
resolvendo
ou onde
é indefinida. Temos
para todo
, logo
e além disso
só seria indefinida em
, mas
não pertence ao domínio. Concluímos que não há pontos críticos em
.
Passo 4
Como
em todo o domínio,
é estritamente decrescente em
. Em particular não existem máximos ou mínimos locais interiores, pois numa função estritamente monotônica não há vale nem pico interno.
Passo 5
Para extremos absolutos analisamos o comportamento nos limites do intervalo aberto:
- Quando
, . Não há valor de que atinja esse supremo, logo não há máximo absoluto finito. - Quando
, . Embora o ínfimo seja , ele não é atingido em nenhum . Portanto não há mínimo absoluto.
Resposta
A função não possui máximo nem mínimo, nem local nem absoluto, em
.
Como informação adicional:
Como informação adicional: