Calcule a equação da reta tangente à curva dada no ponto P indicado.
y=\operatorname{arctg}\left(x^{3}\right) no ponto P com abscissa x=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
y = \operatorname{arctg}\bigl(x^{3}\bigr)
no ponto P cuja abscissa é x=1.
Vamos precisar de (1) coordenadas do ponto e (2) coeficiente angular da reta, dado pela derivada y' avaliada em x=1.

Passo 2

Calcular a ordenada y_{0} de P. Substituindo x=1 em
y = \operatorname{arctg}\bigl(x^{3}\bigr)
temos
y_{0} = \operatorname{arctg}(1^{3}) = \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Determinar a derivada y' usando a regra da cadeia para y = \operatorname{arctg}(u) com u = x^{3}. Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arctg}(u)\bigr) = \frac{1}{1+u^{2}}
e
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}.
Logo, pela regra da cadeia,
y' = \frac{du}{dx}\,\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arctg}(u)\bigr) = 3x^{2}\,\frac{1}{1+(x^{3})^{2}} = \frac{3x^{2}}{1 + x^{6}}.

Passo 4

Avaliar o coeficiente angular m = y'\bigl|_{x=1}:
m = \frac{3\cdot1^{2}}{1 + 1^{6}} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}.

Passo 5

Escrever a equação da reta tangente em P=(1,y_{0}) com coeficiente angular m. A forma ponto-inclinação é
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}).
Substituindo x_{0}=1, y_{0}=\frac{\pi}{4} e m=\frac{3}{2}, obtemos
y - \frac{\pi}{4} = \frac{3}{2}\,(x - 1).

Resposta

A equação da reta tangente é
y - \frac{\pi}{4} = \frac{3}{2}\,(x - 1),
ou, desenvolvendo,
y = \frac{3}{2}\,x + \frac{\pi}{4} - \frac{3}{2}.

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