Determine o domínio, imagem e as respectivas curvas de nível das funções abaixo:
f(x, y)=\frac{\sqrt{x+y+1}}{x-1}, curvas de nível para k=-1,0,1;

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=\frac{\sqrt{x+y+1}}{x-1}
e pede o domínio, a imagem e as curvas de nível para k=-1,0,1. Vamos usar conceitos de domínio de funções de duas variáveis, imagem e curvas de nível.

Passo 2

Para o domínio exigimos duas condições:
  1. O radicando deve ser não negativo: x+y+1 \ge 0\,.
  2. O denominador não pode ser zero: x-1 \neq 0\,.
Logo o domínio é
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y+1 \ge 0 \text{ e } x\neq1\}.

Passo 3

Para a imagem note que \sqrt{x+y+1}\ge0 e o sinal de f vem de x-1:
  • Se x>1, f\ge0 e pode crescer até +\infty quando x\to1^+.
  • Se x<1, f\le0 e pode decrescer até -\infty quando x\to1^-.
    Além disso f=0 ocorre quando x+y+1=0. Portanto f atinge todo valor real e a imagem é
\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.

Passo 4

Para as curvas de nível impomos
f(x,y)=k \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sqrt{x+y+1}}{x-1}=k.
Isso exige k(x-1)\ge0 (pois o lado esquerdo é \ge0 quando multiplicado por x-1) e, elevando ao quadrado,
x+y+1 = k^2(x-1)^2.
Isolando y:
y = k^2(x-1)^2 \;-\; x \;-\; 1,
com a restrição
k(x-1)\ge0.

Passo 5

Para k=0 a condição 0\cdot(x-1)\ge0 é trivial e exige
\sqrt{x+y+1}=0 \;\Longrightarrow\; x+y+1=0,
ou seja
y=-x-1,
com x\neq1.

Passo 6

Para k=1 a condição 1\cdot(x-1)\ge0 x\ge1. A curva de nível é
y = (x-1)^2 - x -1,
para x\ge1.

Passo 7

Para k=-1 a condição -1\cdot(x-1)\ge0 x\le1. A curva de nível é
y = (x-1)^2 - x -1,
para x\le1.

Resposta

Domínio:
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y+1 \ge 0 \text{ e } x\neq1\}.
Imagem:
\mathbb{R}.
Curvas de nível:
Para k=0:
y = -x - 1,\quad x\neq1.
Para k=1:
y = (x-1)^2 - x - 1,\quad x\ge1.
Para k=-1:
y = (x-1)^2 - x - 1,\quad x\le1.

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