Determine o domínio, imagem e as respectivas curvas de nível das funções abaixo:
, curvas de nível para
;
Passo 1
O enunciado define a função
e pede o domínio, a imagem e as curvas de nível para
. Vamos usar conceitos de domínio de funções de duas variáveis, imagem e curvas de nível.
Passo 2
Para o domínio exigimos duas condições:
- O radicando deve ser não negativo:
- O denominador não pode ser zero:
Logo o domínio é
Passo 3
Para a imagem note que
e o sinal de
vem de
:
- Se
, e pode crescer até quando . - Se
, e pode decrescer até quando .
Além dissoocorre quando . Portanto atinge todo valor real e a imagem é
Passo 4
Para as curvas de nível impomos
Isso exige
(pois o lado esquerdo é
quando multiplicado por
) e, elevando ao quadrado,
Isolando
:
com a restrição
Passo 5
Para
a condição
é trivial e exige
ou seja
com
.
Passo 6
Para
a condição
dá
. A curva de nível é
para
.
Passo 7
Para
a condição
dá
. A curva de nível é
para
.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Curvas de nível:
Para :
Curvas de nível:
Para
Para
:
Para
: