Diferenciais Parciais e Totais. As propriedades termodinâmicas são frequentemente expressas como funções de duas ou mais variáveis. Considere o volume específico ( v ), que é uma propriedade do estado e depende da pressão (P) e da temperatura ( T ), ou seja, v=v(P, T).
O diferencial total do volume específico é dado por:
d v=\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_{T} d P+\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P} d T
Com base nessa equação, explique:
(a) Defina o que é uma derivada parcial e o que ela representa em um contexto físico, como \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}.
(b) Defina o que é um diferencial total e o que ele representa em relação à variação de uma propriedade termodinâmica.
(c) Explique o significado físico de cada termo na equação do diferencial total, relacionando-o com a mudança infinitesimal do volume específico.

Passo 1

O enunciado trata do volume específico v como função de duas variáveis de estado, pressão P e temperatura T, e apresenta o diferencial total
d v=\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_{T} d P+\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P} d T.
Precisamos (a) definir o que é derivada parcial e seu sentido físico; (b) definir o que é diferencial total e o que ele representa; (c) interpretar fisicamente cada termo da soma.

Passo 2

Derivada parcial é a taxa de variação de uma função de várias variáveis quando apenas uma delas muda e as demais ficam fixas. No caso de \displaystyle \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}, estamos perguntando “de quanto o volume específico v varia se aumentarmos infinitesimalmente T, mantendo a pressão P constante?”. Fisicamente, isso mede a sensibilidade volumétrica do fluido à temperatura, sem alterar a pressão.

Passo 3

O diferencial total de uma função de várias variáveis é a melhor aproximação linear à variação dessa função quando todas as variáveis podem mudar simultaneamente, porém de forma infinitesimal. Em fórmula,
d v = \sum_{i}\left(\frac{\partial v}{\partial x_{i}}\right)_{\text{restantes}}d x_{i}.
Ele representa a soma das contribuições parciais de cada variável à variação total da propriedade termodinâmica.

Passo 4

Na expressão
d v=\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_{T} d P+\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P} d T,
– O termo \displaystyle \left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_{T}dP é a parcela da variação de v que decorre de uma mudança infinitesimal dP de pressão, mantendo T fixo. Em muitos fluidos, esse coeficiente é negativo, pois maior pressão geralmente reduz o volume.
– O termo \displaystyle \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}dT é a parcela da variação de v provocada por uma mudança infinitesimal dT de temperatura, à pressão constante. Geralmente é positivo, pois aquecer o fluido tende a expandi-lo.

Resposta

(a) Derivada parcial é a taxa de variação de uma função multivariável em relação a uma única variável, com as demais fixas; fisicamente, \left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P} mede o quanto o volume específico muda ao alterar T mantendo P constante.
(b) Diferencial total é a soma das contribuições lineares de cada variável à variação total de uma função de várias variáveis; ele representa a mudança aproximada de uma propriedade termodinâmica quando todas as variáveis mudam infinitesimalmente.
(c) Na fórmula
d v=\left(\frac{\partial v}{\partial P}\right)_{T}dP+\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}dT,
o primeiro termo corresponde à variação de v devido a dP (temperatura constante) e o segundo à variação de v devido a dT (pressão constante).

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