Diferenciais Parciais e Totais. As propriedades termodinâmicas são frequentemente expressas como funções de duas ou mais variáveis. Considere o volume específico (
), que é uma propriedade do estado e depende da pressão
e da temperatura (
), ou seja,
.
O diferencial total do volume específico é dado por:
Com base nessa equação, explique:
(a) Defina o que é uma derivada parcial e o que ela representa em um contexto físico, como
.
(b) Defina o que é um diferencial total e o que ele representa em relação à variação de uma propriedade termodinâmica.
(c) Explique o significado físico de cada termo na equação do diferencial total, relacionando-o com a mudança infinitesimal do volume específico.
O diferencial total do volume específico é dado por:
(a) Defina o que é uma derivada parcial e o que ela representa em um contexto físico, como
(b) Defina o que é um diferencial total e o que ele representa em relação à variação de uma propriedade termodinâmica.
(c) Explique o significado físico de cada termo na equação do diferencial total, relacionando-o com a mudança infinitesimal do volume específico.
Passo 1
O enunciado trata do volume específico
como função de duas variáveis de estado, pressão
e temperatura
, e apresenta o diferencial total
Precisamos (a) definir o que é derivada parcial e seu sentido físico; (b) definir o que é diferencial total e o que ele representa; (c) interpretar fisicamente cada termo da soma.
Passo 2
Derivada parcial é a taxa de variação de uma função de várias variáveis quando apenas uma delas muda e as demais ficam fixas. No caso de
, estamos perguntando “de quanto o volume específico
varia se aumentarmos infinitesimalmente
, mantendo a pressão
constante?”. Fisicamente, isso mede a sensibilidade volumétrica do fluido à temperatura, sem alterar a pressão.
Passo 3
O diferencial total de uma função de várias variáveis é a melhor aproximação linear à variação dessa função quando todas as variáveis podem mudar simultaneamente, porém de forma infinitesimal. Em fórmula,
Ele representa a soma das contribuições parciais de cada variável à variação total da propriedade termodinâmica.
Passo 4
Na expressão
– O termo
é a parcela da variação de
que decorre de uma mudança infinitesimal
de pressão, mantendo
fixo. Em muitos fluidos, esse coeficiente é negativo, pois maior pressão geralmente reduz o volume.
– O termo é a parcela da variação de
provocada por uma mudança infinitesimal
de temperatura, à pressão constante. Geralmente é positivo, pois aquecer o fluido tende a expandi-lo.
– O termo
Resposta
(a) Derivada parcial é a taxa de variação de uma função multivariável em relação a uma única variável, com as demais fixas; fisicamente,
mede o quanto o volume específico muda ao alterar
mantendo
constante.
(b) Diferencial total é a soma das contribuições lineares de cada variável à variação total de uma função de várias variáveis; ele representa a mudança aproximada de uma propriedade termodinâmica quando todas as variáveis mudam infinitesimalmente.
(c) Na fórmula
(b) Diferencial total é a soma das contribuições lineares de cada variável à variação total de uma função de várias variáveis; ele representa a mudança aproximada de uma propriedade termodinâmica quando todas as variáveis mudam infinitesimalmente.
(c) Na fórmula
o primeiro termo corresponde à variação de
devido a
(temperatura constante) e o segundo à variação de
devido a
(pressão constante).