Calcular a integral indefinida.
integral x^3 d x(x^2+2)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^3,dxl(x^2+2r)^2
É um caso de integração de função racional onde a substituição u=x^2+2 simplifica o denominador.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = x^2 + 2, du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2

Passo 3

Reescrevemos o numerador x^3,dx como
x^3,dx = x^2cdot x,dx = (u-2),du2
Então a integral vira
integral x^3,dx(x^2+2)^2 = integral (u-2),tfracdu2u^2

Passo 4

Colocando tfrac12 em evidência e separando termos,
= 12 integral u-2u^2,du = 12 integral l(uu^2 - 2u^2r)du = 12 integral l(u^-1 - 2u^-2r),du

Passo 5

Integramos termo a termo:
12 integral u^-1,du = 12 ln|u|, 12 integral (-2u^-2),du = 12cdot 2u^-1 = u^-1
Logo a primitiva em u é
12 ln|u| + u^-1 + C

Passo 6

Voltando a x com u = x^2+2, obtemos
12 lnl(x^2+2r) + 1x^2+2 + C

Resposta

integral x^3,dxl(x^2+2r)^2 = 12 lnl(x^2+2r) + 1x^2+2 + C

Exercícios relacionados