Determine a inversa das seguintes funções:
l) f(x)=12 log a(x+1x-1)

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de
f(x)=tfrac12loga!gl(x+1x-1gr)
O conteúdo principal é inversão de função envolvendo logaritmo. Para isso vamos usar a definição de logaritmo, propriedades de exponenciação e depois resolver uma equação racional para isolar x.

Passo 2

Começamos definindo
y = f(x) = tfrac12loga!gl(x+1x-1gr)
Multiplicando por 2 temos
2y = loga!gl(x+1x-1gr)

Passo 3

Aplicando a exponenciação na base a em ambos os lados obtemos
a^2y = x+1x-1
Agora basta resolver essa equação para x.

Passo 4

Chamando A = a^2y, temos
A = x+1x-1 Longrightarrow A(x-1)=x+1 Longrightarrow Ax - A = x + 1
Longrightarrow Ax - x = A + 1 Longrightarrow x,(A-1) = A+1 Longrightarrow x = A+1A-1
Substituindo A = a^2y de volta, chegamos a
x = a^2y+1a^2y-1

Resposta

A inversa de f é
f^-1(x) = a^2x+1a^2x-1

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