Investigar as integrais impróprias seguintes.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a integral imprópria
ou seja, verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor. Vamos usar conhecimentos sobre integrais impróprias (definidas como limite), teste de convergência por comparação e antiderivada de
.
Passo 2
Como o integrando fica singular em
(denominador zero), reescrevemos a integral por limite:
Passo 3
Testamos convergência junto a
. Para
perto de
temos
logo
Como
é finito, pela comparação concluímos que a integral original é convergente.
Passo 4
Para calcular a antiderivada usamos a substituição
. Então
e o integrando vira
Como
, temos
Passo 5
Voltando ao limite,
Fazendo
,
.
Resposta
A integral converge e