Investigar as integrais impróprias seguintes.
integral0^3 d xraiz9-x^2

Passo 1

O enunciado pede para investigar a integral imprópria
integral0^3dxraiz9-x^2
ou seja, verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular seu valor. Vamos usar conhecimentos sobre integrais impróprias (definidas como limite), teste de convergência por comparação e antiderivada de 1raiza^2-x^2.

Passo 2

Como o integrando fica singular em x=3 (denominador zero), reescrevemos a integral por limite:
integral0^3dxraiz9-x^2 =limbto3^-integral0^bdxraiz9-x^2

Passo 3

Testamos convergência junto a x=3. Para x perto de 3 temos
raiz9-x^2=raiz(3-x)(3+x)>=raiz6,raiz3-x,
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1raiz9-x^2<=1raiz6,(3-x)^-1/2
Como
integral0^3(3-x)^-1/2dx =l[-2raiz3-xr]0^3 =2raiz3-0
é finito, pela comparação concluímos que a integral original é convergente.

Passo 4

Para calcular a antiderivada usamos a substituição x=3sintheta. Então
dx=3costheta,dtheta, raiz9-x^2=3costheta,
e o integrando vira
integraldxraiz9-x^2 =integral3costheta,dtheta3costheta =integral dtheta =theta+C
Como theta=arcsin(x/3), temos
integraldxraiz9-x^2 =arcsin!l(x/3r)+C

Passo 5

Voltando ao limite,
integral0^bdxraiz9-x^2 =l[arcsin(x/3)r]0^b =arcsin(b/3)-arcsin(0) =arcsin(b/3)
Fazendo bto3^-, arcsin(b/3)toarcsin(1)=pi/2.

Resposta

A integral converge e
integral0^3dxraiz9-x^2 =pi2

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