Encontrar o comprimento de arco da curva dada:
r=e^theta, de theta=0 a theta=pi3

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = e^theta, thetainl[0,tfracpi3r]
e pede o comprimento de arco. O conteúdo é comprimento de arco em coordenadas polares; vamos usar a fórmula que envolve r(theta) e dr/dtheta.

Passo 2

A fórmula do comprimento de arco de uma curva polar r=r(theta) de theta=a a theta=b é
L = integrala^b raizr^2(theta) + l(r'(theta)r)^2,dtheta

Passo 3

Aqui r(theta)=e^theta, portanto
r'(theta)=drdtheta=e^theta

Passo 4

Substituindo na fórmula,
L = integral0^pi/3 raize^2theta + e^2theta,dtheta = integral0^pi/3 raiz2,e^2theta,dtheta = raiz2integral0^pi/3 e^theta,dtheta

Passo 5

Calculando a integral,
raiz2integral0^pi/3 e^theta,dtheta = raiz2l[e^thetar]0^pi/3 = raiz2,l(e^pi/3-1r)

Resposta

L = raiz2,l(e^pi/3-1r)

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