Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não limite: ( 2,0 pontos)
(b) lim (x, y) (0,0) x^6(x^3+y^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite de uma função de duas variáveis. O problema pede para determinar o limite de x^6(x^3+y^2)^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, verificando se o limite existe ou não através de diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender o comportamento da função perto do ponto (0,0). Quando lidamos com limites de funções de duas variáveis, uma estratégia comum é analisar o limite ao longo de diferentes “caminhos” que se aproximam do ponto em questão. Se obtivermos o mesmo valor de limite por todos os caminhos, isso sugere que o limite existe e é igual a esse valor. Se encontrarmos caminhos que dão limites diferentes, então o limite não existe.

Passo 3

Vamos começar analisando o caminho onde $ y = 0 $. Substituindo $ y = 0 $ na função, temos:
y = 0
Então, ao nos aproximarmos de y = 0 ao longo do eixo x^6(x^3 + 0^2)^2 = x^6x^6 = 1 (onde $ y = 0 $), o limite é 1.

Passo 4

Agora, vamos tentar um caminho diferente. Vamos escolher $ y = x^{k} $ e verificar para qual valor de y = x^k o limite muda. Substituindo $ y = x^{k} $ na função, temos:
k
Queremos que a expressão no denominador não anule completamente o numerador, para evitar uma divisão por zero.

Passo 5

Vamos escolher $ k = \frac{3}{2} $. Então, $ y = x^{3/2} $ e substituindo na função:
k = 32
Então, ao nos aproximarmos de y = x^3/2 ao longo da curva $ y = x^{3/2} $, o limite é x^6(x^3 + x^3)^2 = x^6(2x^3)^2 = x^64x^6 = 14 .

Passo 6

Observamos agora que ao escolher dois caminhos diferentes ($ y = 0 $ e $ y = x^{3/2} $), os limites obtidos são diferentes (1 e y = 0 , respectivamente). Isso indica que o valor do limite depende do caminho escolhido para se aproximar de y = x^3/2 .

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x^6(x^3+y^2)^2 não existe, pois distintos caminhos levam a valores de limite diferentes.

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