Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não limite: ( 2,0 pontos)
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limite de uma função de duas variáveis. O problema pede para determinar o limite de
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, verificando se o limite existe ou não através de diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender o comportamento da função perto do ponto
. Quando lidamos com limites de funções de duas variáveis, uma estratégia comum é analisar o limite ao longo de diferentes “caminhos” que se aproximam do ponto em questão. Se obtivermos o mesmo valor de limite por todos os caminhos, isso sugere que o limite existe e é igual a esse valor. Se encontrarmos caminhos que dão limites diferentes, então o limite não existe.
Passo 3
Vamos começar analisando o caminho onde $ y = 0 $. Substituindo $ y = 0 $ na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de
ao longo do eixo
(onde $ y = 0 $), o limite é 1.
Passo 4
Agora, vamos tentar um caminho diferente. Vamos escolher $ y = x^{k} $ e verificar para qual valor de
o limite muda. Substituindo $ y = x^{k} $ na função, temos:
Queremos que a expressão no denominador não anule completamente o numerador, para evitar uma divisão por zero.
Passo 5
Vamos escolher $ k = \frac{3}{2} $. Então, $ y = x^{3/2} $ e substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de
ao longo da curva $ y = x^{3/2} $, o limite é
.
Passo 6
Observamos agora que ao escolher dois caminhos diferentes ($ y = 0 $ e $ y = x^{3/2} $), os limites obtidos são diferentes (1 e
, respectivamente). Isso indica que o valor do limite depende do caminho escolhido para se aproximar de
.
Resposta
O limite
não existe, pois distintos caminhos levam a valores de limite diferentes.