calcular a integral indefinida.
\int x^{7} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{7} e^{x}\,dx.
Informações dadas: integrando é o produto de um polinômio x^{7} e a função exponencial e^{x}. Queremos uma primitiva (ou seja, uma expressão que derivada dá x^{7}e^{x}) mais a constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. Primeiro, uma pequena revisão didática sobre ela.
A integração por partes vem da regra do produto para derivadas: se u=u(x) e v=v(x) então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u\,\frac{dv}{dx}+v\,\frac{du}{dx}.
Integrando ambos os lados em x obtemos a fórmula
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos, e du é a sua diferencial ( du = u'(x)\,dx);
  • dv é a outra parte do integrando, e v é uma primitiva de dv (isto é, v=\int dv).
A ideia prática é escolher u de forma que du seja mais simples, e escolher dv cuja primitiva v seja fácil de obter.

Passo 3

Para integrandos do tipo polinômio vezes e^{x} a escolha padrão é tomar u igual ao polinômio (porque sua derivada diminui o grau) e dv = e^{x}\,dx (porque a primitiva de e^{x} é e^{x} novamente). Para organizar bem as contas vamos definir uma família de integrais:
Defina
I_{n}=\int x^{n} e^{x}\,dx,
onde n é um inteiro não negativo. Nosso objetivo é calcular I_{7}.

Passo 4

Aplique integração por partes a I_{n} com u=x^{n} e dv=e^{x}\,dx. Então du=n x^{n-1}\,dx e v=e^{x}. Pela fórmula:
I_{n} = x^{n} e^{x} - \int e^{x}\cdot n x^{n-1}\,dx.
Fatorando o n que é constante:
I_{n} = x^{n} e^{x} - n \int x^{n-1} e^{x}\,dx.
Ou seja, obtemos a recorrência útil
I_{n} = x^{n} e^{x} - n I_{n-1}.

Passo 5

Agora vamos aplicar a recorrência para n=7. Escrevendo passo a passo:
Começamos com
I_{7} = x^{7} e^{x} - 7 I_{6}.

Passo 6

Compute I_{6} pela mesma fórmula:
I_{6} = x^{6} e^{x} - 6 I_{5}.
Substituindo em I_{7}:
I_{7} = x^{7} e^{x} - 7\big(x^{6} e^{x} - 6 I_{5}\big) = x^{7} e^{x} - 7 x^{6} e^{x} + 7\cdot 6\, I_{5}.

Passo 7

Agora I_{5} = x^{5} e^{x} - 5 I_{4}. Substituindo:
I_{7} = x^{7} e^{x} - 7 x^{6} e^{x} + 7\cdot 6\big(x^{5} e^{x} - 5 I_{4}\big) = x^{7} e^{x} - 7 x^{6} e^{x} + 7\cdot 6\, x^{5} e^{x} - 7\cdot 6\cdot 5\, I_{4}.

Passo 8

Continue: I_{4} = x^{4} e^{x} - 4 I_{3}. Substituindo:
I_{7} = x^{7} e^{x} - 7 x^{6} e^{x} + 7\cdot 6\, x^{5} e^{x} - 7\cdot 6\cdot 5\big(x^{4} e^{x} - 4 I_{3}\big)
= x^{7} e^{x} - 7 x^{6} e^{x} + 42\, x^{5} e^{x} - 210\, x^{4} e^{x} + 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\, I_{3}.

Passo 9

Próximo: I_{3} = x^{3} e^{x} - 3 I_{2}. Substituindo:
I_{7} = x^{7} e^{x} - 7 x^{6} e^{x} + 42\, x^{5} e^{x} - 210\, x^{4} e^{x} + 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\,\big(x^{3} e^{x} - 3 I_{2}\big)
= x^{7} e^{x} - 7 x^{6} e^{x} + 42\, x^{5} e^{x} - 210\, x^{4} e^{x} + 840\, x^{3} e^{x} - 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\, I_{2}.
Observe que 7\cdot6\cdot5\cdot4 = 840 e multiplicando por 3 2520.

Passo 10

Agora I_{2} = x^{2} e^{x} - 2 I_{1}. Substituindo:
I_{7} = x^{7} e^{x} - 7 x^{6} e^{x} + 42\, x^{5} e^{x} - 210\, x^{4} e^{x} + 840\, x^{3} e^{x} - 2520\big(x^{2} e^{x} - 2 I_{1}\big)
= x^{7} e^{x} - 7 x^{6} e^{x} + 42\, x^{5} e^{x} - 210\, x^{4} e^{x} + 840\, x^{3} e^{x} - 2520\, x^{2} e^{x} + 2520\cdot 2\, I_{1}.
Note 2520\cdot 2 = 5040.

Passo 11

I_{1} = x e^{x} - 1\cdot I_{0}. Substituindo:
I_{7} = x^{7} e^{x} - 7 x^{6} e^{x} + 42\, x^{5} e^{x} - 210\, x^{4} e^{x} + 840\, x^{3} e^{x} - 2520\, x^{2} e^{x} + 5040\big(x e^{x} - I_{0}\big)
= x^{7} e^{x} - 7 x^{6} e^{x} + 42\, x^{5} e^{x} - 210\, x^{4} e^{x} + 840\, x^{3} e^{x} - 2520\, x^{2} e^{x} + 5040\, x e^{x} - 5040\, I_{0}.

Passo 12

Finalmente I_{0} = \int e^{x}\,dx = e^{x} + C. Substituindo I_{0}=e^{x} (a constante de integração juntamos no final):
I_{7} = x^{7} e^{x} - 7 x^{6} e^{x} + 42\, x^{5} e^{x} - 210\, x^{4} e^{x} + 840\, x^{3} e^{x} - 2520\, x^{2} e^{x} + 5040\, x e^{x} - 5040\, e^{x} + C.

Passo 13

Fatorando e^{x} fica mais compacto e é a forma usual final:
I_{7} = e^{x}\big(x^{7} - 7 x^{6} + 42 x^{5} - 210 x^{4} + 840 x^{3} - 2520 x^{2} + 5040 x - 5040\big) + C.
Comentário didático: os coeficientes vêm da sequência 1, -7, 7\cdot6, -7\cdot6\cdot5,\dots,(-1)^{7}7!. Em geral
\int x^{n} e^{x}\,dx = e^{x}\Big(\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}\frac{n!}{(n-k)!} x^{\,n-k}\Big) + C,
o que aqui para n=7 produz o polinômio acima.

Resposta

\boxed{e^{x}\big(x^{7} - 7 x^{6} + 42 x^{5} - 210 x^{4} + 840 x^{3} - 2520 x^{2} + 5040 x - 5040\big) + C}

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