calcular a integral indefinida.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: integrando é o produto de um polinômio
e a função exponencial
. Queremos uma primitiva (ou seja, uma expressão que derivada dá
) mais a constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. Primeiro, uma pequena revisão didática sobre ela.
A integração por partes vem da regra do produto para derivadas: se
e
então
Integrando ambos os lados em
obtemos a fórmula
Aqui:
-
é uma função que escolhemos, e é a sua diferencial ( ); -
é a outra parte do integrando, e é uma primitiva de (isto é, ).
A ideia prática é escolher
de forma que
seja mais simples, e escolher
cuja primitiva
seja fácil de obter.
Passo 3
Para integrandos do tipo polinômio vezes
a escolha padrão é tomar
igual ao polinômio (porque sua derivada diminui o grau) e
(porque a primitiva de
é
novamente). Para organizar bem as contas vamos definir uma família de integrais:
Defina
onde
é um inteiro não negativo. Nosso objetivo é calcular
.
Passo 4
Aplique integração por partes a
com
e
. Então
e
. Pela fórmula:
Fatorando o
que é constante:
Ou seja, obtemos a recorrência útil
Passo 5
Agora vamos aplicar a recorrência para
. Escrevendo passo a passo:
Começamos com
Passo 6
Compute
pela mesma fórmula:
Substituindo em
:
Passo 7
Agora
. Substituindo:
Passo 8
Continue:
. Substituindo:
Passo 9
Próximo:
. Substituindo:
Observe que
e multiplicando por
dá
.
Passo 10
Agora
. Substituindo:
Note
.
Passo 11
Passo 12
Finalmente
. Substituindo
(a constante de integração juntamos no final):
Passo 13
Fatorando
fica mais compacto e é a forma usual final:
Comentário didático: os coeficientes vêm da sequência
. Em geral
o que aqui para
produz o polinômio acima.