Calcular a integral indefinida: \int \tan x \sin ^{3} x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \tan x \,\sin^{3}x\,dx.
Informações dadas e o que precisamos:
A função a integrar é \tan x\sin^{3}x.
Queremos uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\tan x\sin^{3}x.
Não há restrição adicional (domínio, valores especiais), então apresentaremos a primitiva geral com constante de integração C.
Passo 2
Primeira manipulação algébrica para deixar a integral num formato conveniente. Lembre que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Então podemos escrever a integral como
Aqui simplificamos o integrando para \dfrac{\sin^{4}x}{\cos x}. A ideia é escolher uma substituição simples: como aparece \sin elevado a potências e \cos no denominador, a substituição mais direta é
u=\sin x,
porque sua derivada é simples:
du=\cos x\,dx,
ou seja dx=\dfrac{du}{\cos x}. Vou usar essa substituição porque transforma a integral numa função racional de u, que é mais fácil de integrar sem calculadora.
Passo 3
Aplicando a substituição u=\sin x. Reescrevemos a integral em u:
Temos \sin x = u, então \sin^{4}x = u^{4}.
Também du=\cos x\,dx, logo dx=\dfrac{du}{\cos x}.
Substituindo em \displaystyle \int \frac{\sin^{4}x}{\cos x}\,dx obtemos
Mas \cos^{2}x=1-\sin^{2}x=1-u^{2}. Portanto a integral em u fica
\int \frac{u^{4}}{1-u^{2}}\,du.
Passo 4
Agora vamos simplificar \dfrac{u^{4}}{1-u^{2}} por divisão polinomial (ou escrita em termos mais simples). Fazendo a divisão:
procuramos coeficientes A(u) e resto R tais que
(Para ver isso, multiplique (-u^{2}-1)(1-u^{2}) + 1 = u^{4}; se preferir, faça a divisão passo a passo: u^{4}\div(1-u^{2}) dá quociente -u^{2} com resto u^{2}; depois u^{2}\div(1-u^{2}) dá quociente -1 com resto 1.)