Calcular a integral indefinida:
\int \tan x \sin ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \tan x \,\sin^{3}x\,dx.
Informações dadas e o que precisamos:
  • A função a integrar é \tan x\sin^{3}x.
  • Queremos uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\tan x\sin^{3}x.
  • Não há restrição adicional (domínio, valores especiais), então apresentaremos a primitiva geral com constante de integração C.

Passo 2

Primeira manipulação algébrica para deixar a integral num formato conveniente. Lembre que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Então podemos escrever a integral como
\int \tan x\,\sin^{3}x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\sin^{3}x\,dx = \int \frac{\sin^{4}x}{\cos x}\,dx.
Aqui simplificamos o integrando para \dfrac{\sin^{4}x}{\cos x}. A ideia é escolher uma substituição simples: como aparece \sin elevado a potências e \cos no denominador, a substituição mais direta é
u=\sin x,
porque sua derivada é simples:
du=\cos x\,dx,
ou seja dx=\dfrac{du}{\cos x}. Vou usar essa substituição porque transforma a integral numa função racional de u, que é mais fácil de integrar sem calculadora.

Passo 3

Aplicando a substituição u=\sin x. Reescrevemos a integral em u:
  • Temos \sin x = u, então \sin^{4}x = u^{4}.
  • Também du=\cos x\,dx, logo dx=\dfrac{du}{\cos x}.
Substituindo em \displaystyle \int \frac{\sin^{4}x}{\cos x}\,dx obtemos
\int \frac{u^{4}}{\cos x}\cdot \frac{du}{\cos x} = \int \frac{u^{4}}{\cos^{2}x}\,du.
Mas \cos^{2}x=1-\sin^{2}x=1-u^{2}. Portanto a integral em u fica
\int \frac{u^{4}}{1-u^{2}}\,du.

Passo 4

Agora vamos simplificar \dfrac{u^{4}}{1-u^{2}} por divisão polinomial (ou escrita em termos mais simples). Fazendo a divisão:
procuramos coeficientes A(u) e resto R tais que
\frac{u^{4}}{1-u^{2}} = -u^{2}-1 + \frac{1}{1-u^{2}}.
(Para ver isso, multiplique (-u^{2}-1)(1-u^{2}) + 1 = u^{4}; se preferir, faça a divisão passo a passo: u^{4}\div(1-u^{2}) dá quociente -u^{2} com resto u^{2}; depois u^{2}\div(1-u^{2}) dá quociente -1 com resto 1.)
Portanto a integral separa-se em partes simples:
\int \frac{u^{4}}{1-u^{2}}\,du = \int \big(-u^{2}-1\big)\,du + \int \frac{1}{1-u^{2}}\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo as partes fáceis:
\int (-u^{2}-1)\,du = -\frac{u^{3}}{3} - u.
Resta a integral \displaystyle \int \frac{1}{1-u^{2}}\,du. Para ela usamos frações parciais. Note que
\frac{1}{1-u^{2}} = \frac{1}{(1-u)(1+u)}.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{1-u^{2}} = \frac{A}{1-u} + \frac{B}{1+u}.
Multiplicando por (1-u)(1+u) obtém-se 1 = A(1+u) + B(1-u). Igualando coeficientes dá A=B=\tfrac{1}{2}. Assim
\frac{1}{1-u^{2}} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-u} + \frac{1}{1+u}\right).
Integrando:
\int \frac{1}{1-u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-u}+\frac{1}{1+u}\right)du.
As primitivas são logaritmos:
\int \frac{1}{1-u}\,du = -\ln\big|1-u\big|,\qquad \int \frac{1}{1+u}\,du = \ln\big|1+u\big|.
Portanto
\int \frac{1}{1-u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right|.

Passo 6

Juntando todas as partes obtidas:
\int \frac{u^{4}}{1-u^{2}}\,du = -\frac{u^{3}}{3} - u + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right| + C,
onde C é constante de integração. Voltando à variável original x usando u=\sin x, temos a primitiva
-\frac{\sin^{3}x}{3} - \sin x + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right| + C.

Resposta

-\dfrac{\sin^{3}x}{3} - \sin x + \dfrac{1}{2}\ln\!\left|\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right| + C

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