Calcular a integral indefinida: \int \tan ^{3} x \operatorname{sec} ^{6} x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \tan^{3} x \operatorname{sec}^{6} x \, dx.
Informações dadas e o que se busca:
A variável de integração é x.
A função integranda é \tan^{3} x \operatorname{sec}^{6} x.
Queremos uma primitiva (uma antiderivada) desta função, ou seja, uma expressão em x cuja derivada dê \tan^{3} x \operatorname{sec}^{6} x, mais uma constante de integração C.
Passo 2
Vamos preparar a integranda para usar uma substituição simples. Primeiro, uma observação útil (fórmula trigonométrica):
\tan^{2} x = \operatorname{sec}^{2} x - 1.
Isso vem da identidade fundamental \operatorname{sec}^{2}x = 1 + \tan^{2}x. É uma identidade muito usada para reduzir potências de \tan quando aparecem \operatorname{sec} também.
Aplicando essa identidade em \tan^{3}x escrevemos
\tan^{3} x = \tan^{2} x \cdot \tan x = (\operatorname{sec}^{2} x - 1)\tan x.
Substituímos isso na integral para transformar a expressão.
Passo 3
Substituindo \tan^{3}x = (\operatorname{sec}^{2}x-1)\tan x na integral obtemos
\int \tan^{3} x \operatorname{sec}^{6} x \, dx = \int (\operatorname{sec}^{2} x - 1)\tan x \cdot \operatorname{sec}^{6} x \, dx.
Agora agrupamos os fatores de \operatorname{sec} de modo a facilitar uma substituição:
(\operatorname{sec}^{2} x - 1)\tan x \cdot \operatorname{sec}^{6} x = (\operatorname{sec}^{2} x - 1)\operatorname{sec}^{6} x \tan x.
Passo 4
Observe a derivada de \operatorname{sec} x:
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x) = \operatorname{sec} x \tan x.
Isto quer dizer que se fizermos a substituição u=\operatorname{sec} x, então
du = \operatorname{sec} x \tan x \, dx.
Na expressão acima temos um fator \tan x e vários fatores de \operatorname{sec} x; podemos separar um \operatorname{sec} x para formar exatamente du. Escrevemos:
(\operatorname{sec}^{2} x - 1)\operatorname{sec}^{6} x \tan x = (\operatorname{sec}^{2} x - 1)\operatorname{sec}^{5} x \cdot (\operatorname{sec} x \tan x).
Assim a integral fica pronta para a substituição u=\operatorname{sec} x.
Passo 5
Agora efetuamos a substituição u=\operatorname{sec} x e du=\operatorname{sec} x \tan x \, dx. Substituindo na integral:
\int (\operatorname{sec}^{2} x - 1)\operatorname{sec}^{5} x \cdot (\operatorname{sec} x \tan x)\, dx = \int ( \underbrace{\operatorname{sec}^{2} x}_{=u^{2}} - 1)\underbrace{\operatorname{sec}^{5} x}_{=u^{5}} \, du.
Convertendo totalmente em u:
\int (u^{2} - 1)u^{5} \, du = \int (u^{7} - u^{5}) \, du.
Aqui transformamos a integral trigonométrica numa integral polinomial em u, que é direta de calcular.
Passo 6
Integramos o polinômio termo a termo. A regra básica é
\int u^{n} \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \quad\text{para } n\neq -1.
Aplicando à nossa integral:
\int (u^{7} - u^{5}) \, du = \frac{u^{8}}{8} - \frac{u^{6}}{6} + C.
Passo 7
Voltamos à variável original x usando u=\operatorname{sec} x. Substituindo u de volta:
\frac{u^{8}}{8} - \frac{u^{6}}{6} + C = \frac{\operatorname{sec}^{8} x}{8} - \frac{\operatorname{sec}^{6} x}{6} + C.
Podemos deixar a resposta nesta forma; está explícita e correta.
Resposta
\displaystyle \frac{\operatorname{sec}^{8} x}{8} - \frac{\operatorname{sec}^{6} x}{6} + C