Determine o domínio, imagem e as respectivas curvas de nível das funções abaixo:
, curvas de nível para
;
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar o domínio em
, a imagem de
e, em particular, as curvas de nível para
. Vamos usar propriedades de logaritmo e análise de limites para ver onde
está bem definida e como ela varia.
Passo 2
Para que
faça sentido, seu argumento precisa ser positivo. Logo o domínio é
isto é, todos os pontos com
Passo 3
Para achar a imagem de
, note que em
podemos aproximar
de zero pela direita. Se fixarmos
e levarmos
, então
Por outro lado, se escolhemos
e ainda fazemos
, obtemos
Como a função é contínua em cada componente de
, ela atinge todos os valores reais. Portanto
Passo 4
Para as curvas de nível com
resolvemos
Um produto é zero se, e somente se, uma das parcelas é zero. Assim temos dois casos:
-
. Nesse caso o logaritmo não precisa ser zero, mas deve estar definido, ou seja
Isto dá a reta vertical
, excluindo apenas o ponto
.
-
. Como implica , vem
Esse é um ramo de parábola cujo ponto genérico
satisfaz
, logo faz parte do domínio.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Curvas de nível para
: