Determine o domínio, imagem e as respectivas curvas de nível das funções abaixo:
f(x, y)=x \ln \left(y^{2}-x\right), curvas de nível para k=0;

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y)=x\ln\bigl(y^2 - x\bigr)
determinar o domínio em \mathbb{R}^2, a imagem de f e, em particular, as curvas de nível para k=0. Vamos usar propriedades de logaritmo e análise de limites para ver onde f está bem definida e como ela varia.

Passo 2

Para que \ln\bigl(y^2 - x\bigr) faça sentido, seu argumento precisa ser positivo. Logo o domínio é
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y^2 - x > 0\bigr\},
isto é, todos os pontos com
x < y^2.

Passo 3

Para achar a imagem de f, note que em D podemos aproximar y^2 - x de zero pela direita. Se fixarmos x>0 e levarmos y^2 - x\to 0^+, então
f(x,y) = x\ln(y^2 - x)\to x\cdot(-\infty) = -\infty.
Por outro lado, se escolhemos x<0 e ainda fazemos y^2 - x\to 0^+, obtemos
f(x,y)=x\ln(y^2 - x)\to (-)\cdot(-\infty)=+\infty.
Como a função é contínua em cada componente de D, ela atinge todos os valores reais. Portanto
\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.

Passo 4

Para as curvas de nível com k=0 resolvemos
x\ln\bigl(y^2 - x\bigr)=0.
Um produto é zero se, e somente se, uma das parcelas é zero. Assim temos dois casos:
  1. x=0. Nesse caso o logaritmo não precisa ser zero, mas deve estar definido, ou seja
y^2 - 0 > 0\quad\Longrightarrow\quad y\neq 0.
Isto dá a reta vertical x=0, excluindo apenas o ponto (0,0).
  1. \ln\bigl(y^2 - x\bigr)=0. Como \ln(u)=0 implica u=1, vem
y^2 - x =1 \quad\Longrightarrow\quad x = y^2 - 1.
Esse é um ramo de parábola cujo ponto genérico (y^2-1,y) satisfaz y^2 - x =1>0, logo faz parte do domínio.

Resposta

Domínio:
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y^2 - x>0\}.
Imagem:
\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.
Curvas de nível para k=0:
\text{reta }x=0\text{ com }y\neq0, \quad \text{e parábola }x=y^2-1.á

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