Considere a matriz M=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 & 1\end{array}\right).
a) Determine o valor \lambda para a matriz M seja invertível.
b) Mostre que uma matriz A é invertível se e somente se A^{T} é invertível.
e pede em (a) o valor de \lambda para que M seja invertível, e em (b) que se mostre que uma matriz A é invertível se e somente se A^T é invertível. O conteúdo principal é determinante e propriedades da transposição de matrizes.
Passo 2
Para (a), uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular \det M por expansão na segunda linha, que tem dois zeros:
a) \lambda\neq1.
b) Vimos que, se A^{-1} existe, então (A^{-1})^T é inversa de A^T, e recíprocamente. Portanto, A é invertível se e somente se A^T o for.