Considere a matriz M=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 & 1\end{array}\right).
a) Determine o valor \lambda para a matriz M seja invertível.
b) Mostre que uma matriz A é invertível se e somente se A^{T} é invertível.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & \lambda & -1\\\\ 0 & 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede em (a) o valor de \lambda para que M seja invertível, e em (b) que se mostre que uma matriz A é invertível se e somente se A^T é invertível. O conteúdo principal é determinante e propriedades da transposição de matrizes.

Passo 2

Para (a), uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular \det M por expansão na segunda linha, que tem dois zeros:
\det M = \underbrace{(-1)^{2+3}\,\lambda}_{\text{posição }(2,3)}\, \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} + \underbrace{(-1)^{2+4}\,(-1)}_{\text{posição }(2,4)} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.çãçã
Calculemos os dois menores de ordem 3:
  1. Menor da posição (2,3):
\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} =1\cdot(1\cdot1-0\cdot2)-2\cdot(0\cdot1-0\cdot1)+2\cdot(0\cdot2-1\cdot1) =1-0-2=-1.
  1. Menor da posição (2,4):
\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix} =1\cdot(1\cdot0-2\cdot2)-2\cdot(0\cdot0-2\cdot1)+(-1)\cdot(0\cdot2-1\cdot1) =-4-2(-2)+(-1)(-1) =-4+4+1=1.
Substituindo na expansão:
\det M = (-1)\lambda\cdot(-1) + (1)\,(-1)\cdot1 = \lambda - 1.

Passo 3

Como \det M = \lambda - 1, temos que M é invertível \iff \det M \neq 0\iff \lambda - 1 \neq 0\iff \lambda \neq 1.

Passo 4

Para (b), suponha que A seja invertível, com inversa A^{-1}, de modo que
A\,A^{-1} = I.
Tomando a transposta dos dois lados, usando (XY)^T = Y^T X^T e I^T = I, obtemos
(A\,A^{-1})^T = (A^{-1})^T A^T = I.
Isso mostra que A^T tem inversa (A^{-1})^T e, portanto, A^T é invertível.
O argumento inverso é análogo: se A^T é invertível, então (A^T)^T = A também é invertível. Logo
A\text{ invertível}\;\iff\;A^T\text{ invertível}.íí

Resposta

a) \lambda\neq1.
b) Vimos que, se A^{-1} existe, então (A^{-1})^T é inversa de A^T, e recíprocamente. Portanto, A é invertível se e somente se A^T o for.

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