Calcular a integral de linha da curva C : \int(1+x y) d s, onde C é uma circunferência de raio 1 \mathrm{e} 0 \leq \mathrm{t} \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_C (1 + x y)\,ds
ao longo da circunferência de raio 1.
O conteúdo é “integral de linha de um campo escalar” e precisamos parametrizar a curva e expressar ds em função de um parâmetro.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência de raio 1 por
x(t)=\cos t,\quad y(t)=\sin t,\quad 0\le t\le 2\pi.
Então
\frac{dx}{dt}=-\sin t,\quad \frac{dy}{dt}=\cos t
e
ds=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,dt =\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}\,dt =dt.

Passo 3

Substituindo na integral, fica
\int_C(1+xy)\,ds =\int_{0}^{2\pi}\bigl(1+\cos t\sin t\bigr)\,dt.

Passo 4

Separamos em duas partes:
\int_{0}^{2\pi}1\,dt=2\pi,
\int_{0}^{2\pi}\cos t\sin t\,dt =\frac12\int_{0}^{2\pi}\sin(2t)\,dt =0.
Somando, obtemos 2\pi+0=2\pi.

Resposta

2\pi

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