1- (7 PONTOS) Considere uma moeda viciada de forma que a probabilidade se sair cara num lançamento é o dobro da probabilidade de sair coroa. Agora, considere que esta moeda é lança 4 vezes consecutivas. Responda:
a) (2 pontos) Dê a função de probabilidade do número de caras e esboce o gráfico.
b) (2 pontos) Dê a função de distribuição acumulada do número de caras e esboce o gráfico.
c) ( 1,5 ponto) Calcule a esperança do número de caras.
d) (1,5 ponto) Calcule a variância do número de caras.

Passo 1

O enunciado fala de uma moeda viciada em que a probabilidade de sair cara é o dobro da de sair coroa. A moeda é lançada n=4 vezes e queremos estudar a variável aleatória X = número de caras. Como temos lançamentos independentes e cada lançamento tem mesma probabilidade de cara, X segue distribuição binomial \mathrm{Bin}(n,p). Primeiro precisamos achar p=P(\text{cara}) e q=P(\text{coroa}).

Passo 2

Da condição p=2q e p+q=1 vem
q= \tfrac13, \quad p= \tfrac23.
Assim, a função de probabilidade de X é
f(x)=P(X=x)=\binom{4}{x}\Bigl(\tfrac23\Bigr)^{x}\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{4-x}, \quad x=0,1,2,3,4.
Esboço do gráfico: um gráfico de barras em x=0,1,2,3,4 com alturas
f(0)=(\tfrac13)^4,\; f(1)=4(\tfrac23)(\tfrac13)^3,\; f(2)=6(\tfrac23)^2(\tfrac13)^2,\; f(3)=4(\tfrac23)^3(\tfrac13),\; f(4)=(\tfrac23)^4.

Passo 3

A função de distribuição acumulada é
para x<0, F(x)=0;\
para 0\le x<1,
F(x)=P(X\le0)=f(0)=(\tfrac{1}{3})^{4}=\tfrac{1}{81};
para 1\le x<2,
F(x)=f(0)+f(1)=\tfrac{1}{81}+4\cdot\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{27}=\tfrac{9}{81}=\tfrac{1}{9};
para 2\le x<3,
F(x)=\tfrac{9}{81}+6\cdot\tfrac{4}{9}\cdot\tfrac{1}{9}=\tfrac{33}{81}=\tfrac{11}{27};
para 3\le x<4,
F(x)=\tfrac{33}{81}+4\cdot\tfrac{8}{27}\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{65}{81};
para x\ge4, F(x)=1.
Esboço: função degrau que cresce nos pontos x=0,1,2,3,4 até alcançar 1.

Passo 4

Para distribuição binomial vale
E[X]=n\,p=4\cdot\tfrac23=\tfrac{8}{3}.

Passo 5

E a variância é
\mathrm{Var}(X)=n\,p\,q=4\cdot\tfrac23\cdot\tfrac13=\tfrac{8}{9}.

Resposta

(a) f(x)=\displaystyle\binom{4}{x}\bigl(\tfrac23\bigr)^x\bigl(\tfrac13\bigr)^{4-x},\;x=0,\dots,4.\) (b) \(F(x)=\begin{cases} 0,&x<0,\\\ \tfrac1{81},&0\le x<1,\\\ \tfrac19,&1\le x<2,\\\ \tfrac{11}{27},&2\le x<3,\\\ \tfrac{65}{81},&3\le x<4,\\\\ 1,&x\ge4. \end{cases}
(c) E[X]=\tfrac{8}{3}.
(d) \mathrm{Var}(X)=\tfrac{8}{9}.

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