1- (7 PONTOS) Considere uma moeda viciada de forma que a probabilidade se sair cara num lançamento é o dobro da probabilidade de sair coroa. Agora, considere que esta moeda é lança 4 vezes consecutivas. Responda:
a) (2 pontos) Dê a função de probabilidade do número de caras e esboce o gráfico.
b) (2 pontos) Dê a função de distribuição acumulada do número de caras e esboce o gráfico.
c) ( 1,5 ponto) Calcule a esperança do número de caras.
d) (1,5 ponto) Calcule a variância do número de caras.
a) (2 pontos) Dê a função de probabilidade do número de caras e esboce o gráfico.
b) (2 pontos) Dê a função de distribuição acumulada do número de caras e esboce o gráfico.
c) ( 1,5 ponto) Calcule a esperança do número de caras.
d) (1,5 ponto) Calcule a variância do número de caras.
Passo 1
O enunciado fala de uma moeda viciada em que a probabilidade de sair cara é o dobro da de sair coroa. A moeda é lançada
vezes e queremos estudar a variável aleatória
número de caras. Como temos lançamentos independentes e cada lançamento tem mesma probabilidade de cara,
segue distribuição binomial
. Primeiro precisamos achar
e
.
Passo 2
Da condição
e
vem
Assim, a função de probabilidade de
é
Esboço do gráfico: um gráfico de barras em
com alturas
Passo 3
A função de distribuição acumulada é
para ,
;\
para ,
para
para
para
,
para
,
para
,
para
,
.
Esboço: função degrau que cresce nos pontos até alcançar
.
Esboço: função degrau que cresce nos pontos
Passo 4
Para distribuição binomial vale
Passo 5
E a variância é
Resposta
(a)
(c)
(d)
(d)