2- (8 pontos) Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de probabilidade: f(x)=\left\{\begin{array}{c}c x, 0 \leq x<1 \\\ c, 1 \leq x \leq 3 \\\ c\left(2-\frac{x}{3}\right), 3<x \leq 6 \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.
Determine:
a) (4 pontos) O valor de c e esboce o gráfico da fdp
b) ( 4 pontos) Calcule a mediana da variável X .
Passo 1
O enunciado dá uma densidade de probabilidade contínua em três pedaços:
Gráfico de f(x):
– de x=0 a x=1 cresce linearmente de 0 até f(1^-)=\tfrac14;
– de x=1 a x=3 vale constante \tfrac14;
– de x=3 a x=6 decresce linearmente de \tfrac14 até 0.
Passo 3
Para achar a mediana precisamos da função de distribuição acumulada F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt. Com c=\tfrac14 obtemos:
Para 0\le x<1,
a) c=\tfrac14. O gráfico cresce linearmente de (0,0) a (1,\tfrac14), permanece em \tfrac14 até x=3 e decresce linearmente até (6,0).
b) A mediana é m=2,5.