2- (8 pontos) Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{c}c x, 0 \leq x<1 \\\ c, 1 \leq x \leq 3 \\\ c\left(2-\frac{x}{3}\right), 3<x \leq 6 \\\\ 0, \text { caso contrário }\end{array}\right.á
Determine:
a) (4 pontos) O valor de c e esboce o gráfico da fdp
b) ( 4 pontos) Calcule a mediana da variável X .

Passo 1

O enunciado dá uma densidade de probabilidade contínua em três pedaços:
f(x)=\begin{cases} c\,x,&0\le x<1,\\\ c,&1\le x\le3,\\\ c\Bigl(2-\tfrac{x}{3}\Bigr),&3<x\le6,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
Pede (a) encontrar c e esboçar o gráfico de f e (b) calcular a mediana de X.

Passo 2

Para determinar c usamos a condição
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{0}^{1}c\,x\,dx+\int_{1}^{3}c\,dx+\int_{3}^{6}c\Bigl(2-\tfrac{x}{3}\Bigr)dx =1.
Calculando cada integral:
\int_{0}^{1}c\,x\,dx =c\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_0^1 =\tfrac{c}{2},
\int_{1}^{3}c\,dx =c\,(3-1) =2c,
\int_{3}^{6}c\Bigl(2-\tfrac{x}{3}\Bigr)dx =c\Bigl[2(x-3)-\tfrac{x^2-9}{6}\Bigr]_{3}^{6} =c\cdot\tfrac{3}{2}.
Logo
\tfrac{c}{2}+2c+\tfrac{3c}{2}=4c=1 \quad\Rightarrow\quad c=\tfrac14.
Gráfico de f(x):
– de x=0 a x=1 cresce linearmente de 0 até f(1^-)=\tfrac14;
– de x=1 a x=3 vale constante \tfrac14;
– de x=3 a x=6 decresce linearmente de \tfrac14 até 0.

Passo 3

Para achar a mediana precisamos da função de distribuição acumulada F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt. Com c=\tfrac14 obtemos:
Para 0\le x<1,
F(x)=\int_{0}^{x}\tfrac14\,t\,dt=\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{x^2}{2}=\tfrac{x^2}{8}.
Para 1\le x\le3,
F(x)=F(1^-)+\int_{1}^{x}\tfrac14\,dt =\tfrac{1^2}{8}+\tfrac14\,(x-1) =\tfrac{1}{8}+\tfrac{x-1}{4}.
Para 3< x\le6,
F(3)=\tfrac{1}{8}+\tfrac{3-1}{4}=\tfrac{5}{8},
F(x)=F(3)+\int_{3}^{x}\tfrac14\Bigl(2-\tfrac{t}{3}\Bigr)dt =\tfrac{5}{8}+\tfrac{1}{4}\Bigl[2(t-3)-\tfrac{t^2-9}{6}\Bigr]_{3}^{x}.

Passo 4

A mediana m satisfaz F(m)=\tfrac12. Observamos
F(1)=\tfrac{1}{8}<\tfrac12, \quad F(3)=\tfrac{5}{8}>\tfrac12,
logo m\in[1,3] e usamos
F(x)=\tfrac{1}{8}+\tfrac{x-1}{4} \qquad(1\le x\le3).
Impondo F(m)=\tfrac12:
\tfrac{1}{8}+\tfrac{m-1}{4}=\tfrac12 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{m-1}{4}=\tfrac{3}{8} \quad\Rightarrow\quad m-1=\tfrac{3}{2} \quad\Rightarrow\quad m=\tfrac{5}{2}=2,5.

Resposta

a) c=\tfrac14. O gráfico cresce linearmente de (0,0) a (1,\tfrac14), permanece em \tfrac14 até x=3 e decresce linearmente até (6,0).
b) A mediana é m=2,5.

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