Classifique as superficies quadráticas e esboce seus gráficos:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a superfície dada por
e esboçar seu gráfico. O conteúdo aqui é “superfícies quadráticas” (quadric surfaces), e vamos usar (1) manipulação algébrica para obter a forma implícita de segundo grau e (2) análise de seções transversais para identificar o tipo de superfície.
Passo 2
Observamos que
, logo
implica
. Para obter a forma implícita de grau dois, isolamos a raiz e elevamos ao quadrado:
Passo 3
Reescrevendo a equação em forma canônica, temos
Esse é o tipo padrão de uma superfície “cone duplo” com vértice em
. A equação genérica de um cone duplo circular centrado em
é
Passo 4
Porém, como originalmente definimos
, estamos tomando apenas a “folha inferior” desse cone duplo (a parte em que
). Portanto, a superfície é um cone circular reto, de vértice
, aberto para baixo, com semi-ângulo de
.
Passo 5
Para entender melhor o formato, analisemos seções transversais:
- Plano
: dá círculos de raio . - Plano
: que são duas retas formando um “V” com vértice em .
Isso confirma que o gráfico é um cone circular reto, só a parte inferior do cone duplo.
Resposta
A superfície é um cone circular reto (superfície quadrática degenerada), de vértice em
, aberto para baixo (somente a parte
), com semi-ângulo de
.
Esboço: vértice em e linhas geratrizes inclinadas
em direção a círculos de raio
para cada
.
Esboço: vértice em