Classifique as superficies quadráticas e esboce seus gráficos:
z=4-raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para classificar a superfície dada por
z = 4 - raizx^2 + y^2
e esboçar seu gráfico. O conteúdo aqui é “superfícies quadráticas” (quadric surfaces), e vamos usar (1) manipulação algébrica para obter a forma implícita de segundo grau e (2) análise de seções transversais para identificar o tipo de superfície.

Passo 2

Observamos que raizx^2+y^2>=0, logo z=4-raizx^2+y^2 implica z<=4. Para obter a forma implícita de grau dois, isolamos a raiz e elevamos ao quadrado:
z &= 4 - raizx^2+y^2, raizx^2+y^2 &= 4 - z, (raizx^2+y^2)^2 &= (4 - z)^2, x^2 + y^2 &= (4 - z)^2

Passo 3

Reescrevendo a equação em forma canônica, temos
x^2 + y^2 - (z - 4)^2 = 0
Esse é o tipo padrão de uma superfície “cone duplo” com vértice em (0,0,4). A equação genérica de um cone duplo circular centrado em (0,0,z0) é
x^2 + y^2 - (z - z0)^2 = 0

Passo 4

Porém, como originalmente definimos z = 4 - raizx^2+y^2, estamos tomando apenas a “folha inferior” desse cone duplo (a parte em que z <= 4). Portanto, a superfície é um cone circular reto, de vértice (0,0,4), aberto para baixo, com semi-ângulo de 45^circ.

Passo 5

Para entender melhor o formato, analisemos seções transversais:
  1. Plano z=const=h<4: x^2+y^2 = (4 - h)^2 dá círculos de raio 4-h.
  2. Plano y=0: z = 4 - |x|, que são duas retas formando um “V” com vértice em (0,0,4).
Isso confirma que o gráfico é um cone circular reto, só a parte inferior do cone duplo.

Resposta

A superfície é um cone circular reto (superfície quadrática degenerada), de vértice em (0,0,4), aberto para baixo (somente a parte z<=4), com semi-ângulo de 45^circ.
Esboço: vértice em (0,0,4) e linhas geratrizes inclinadas 45^circ em direção a círculos de raio 4-z para cada z<4.

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