Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes nos intervalos dados:
a) integral-2^3 f(x) d x, sendo f(x)=l|x|,-2 <= x<1 |x+2|, 1 <= x <= 3

Passo 1

Temos a integral integral-2^3f(x),dx, com f dada por
f(x)= |x|,&-2<= x<1, |x+2|,&1<= x<=3
O tema é integração de função definida por partes com valor absoluto. Vamos precisar dividir o domínio nos pontos onde f muda ( x=0 dentro de [-2,1) e x=1).

Passo 2

Identificamos três subintervalos e simplificamos f em cada um:
  • Para -2<= x<=0, temos |x|=-x.
  • Para 0<= x<=1, temos |x|=x.
  • Para 1<= x<=3, como x+2>=0, temos |x+2|=x+2.

Passo 3

Agora calculamos as integrais em [-2,0] e [0,1]:
  • (\displaystyle\int_{-2}{0}-x,dx=\Bigl[-\tfrac{x2}{2}\Bigr]_{-2}^{0}=0-(-2)=2.
  • integral0^1x,dx=l[tfracx^22r]0^1=tfrac12

Passo 4

Em seguida, calculamos a integral em [1,3]:
integral1^3(x+2),dx=l[tfracx^22+2xr]1^3=l(tfrac92+6r)-l(tfrac12+2r)=8

Passo 5

Por fim, somamos as contribuições de cada parte:
2+tfrac12+8=tfrac212

Resposta

tfrac212

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