Determine a equaçăo do plano tangente à superfície no ponto especificado
x^4+y^4+z^4=3 x y z, P=(1,1,1)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado da questão. Precisamos encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por x^4 + y^4 + z^4 = 3xyz no ponto P = (1,1,1). Esse problema está na área de Cálculo Multivariable, especificamente envolvendo superfícies e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender de derivadas parciais e do conceito de gradiente.

Passo 2

Para achar a equação do plano tangente a uma superfície no ponto P, usamos o gradiente da função que define a superfície nesse ponto. A superfície é dada pela equação F(x, y, z) = x^4 + y^4 + z^4 - 3xyz = 0. O gradiente de F, representado por nabla F, é um vetor que contém as derivadas parciais de F em relação a x, y e z.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de F:
partial Fpartial x = 4x^3 - 3yz
partial Fpartial y = 4y^3 - 3xz
partial Fpartial z = 4z^3 - 3xy

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto P = (1,1,1):
partial Fpartial xg|(1,1,1) = 4(1)^3 - 3(1)(1) = 4 - 3 = 1
partial Fpartial yg|(1,1,1) = 4(1)^3 - 3(1)(1) = 4 - 3 = 1
partial Fpartial zg|(1,1,1) = 4(1)^3 - 3(1)(1) = 4 - 3 = 1
Então, o gradiente no ponto P é nabla F(P) = (1, 1, 1).

Passo 5

A equação do plano tangente é dada por:
nabla F(P) cdot (x - x0, y - y0, z - z0) = 0
Substituindo os valores:
1(x - 1) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0
Simplificando:
x + y + z - 3 = 0

Resposta

Portanto, a equação do plano tangente é:
x + y + z = 3

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