Nos Problemas 1-8, determine a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as condições de contomo dadas.
l u(0, y)=0, u(a, y)=0 u(x, 0)=f(x), u(x, b)=0

Passo 1

O problema pede a distribuição de temperatura em regime estacionário numa placa retangular 0<x<a, 0<y<b, que satisfaz a equação de Laplace
uxx+uyy=0
com as condições de contorno homogêneas em três lados
u(0,y)=0, u(a,y)=0, u(x,b)=0
e valor dado em y=0:
u(x,0)=f(x)
Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier seno em x.

Passo 2

Assumimos
u(x,y)=X(x),Y(y)
Substituindo em uxx+uyy=0 e dividindo por XY
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0 Longrightarrow X''X = -Y''Y = -lambda
Como u(0,y)=u(a,y)=0, temos X(0)=X(a)=0, o que gera o autovalor
lambdan = l(npiar)^2, Xn(x)=sin!l(tfracnpiaxr), n=1,2,dots .

Passo 3

Para cada lambdan, a equação em y é
Yn''(y) - l(tfracnpiar)^2 Yn(y)=0,
cuja solução geral é combinação de exponenciais. Impor u(x,b)=0 (ou seja Yn(b)=0) leva a escolher
Yn(y)=sinh!l(tfracnpia(b-y)r),
pois sinhl(tfracnpia(b-b)r)=0.

Passo 4

A solução geral fica então superposição
u(x,y)=sumn=1^inftyCn,sin!l(tfracnpiaxr), sinh!l(tfracnpia(b-y)r)

Passo 5

Para ajustar u(x,0)=f(x) precisamos
u(x,0) =sumn=1^inftyCn,sin!l(tfracnpiaxr), sinh!l(tfracnpiabr) =f(x)
Expandindo f(x) em série de senos, os coeficientes são
Cn,sinh!l(tfracnpiabr) =2aintegral0^af(xi),sin!l(tfracnpiaxir),dxi,
logo
Cn =2a,sinh!l(tfracnpiabr) integral0^af(xi),sin!l(tfracnpiaxir),dxi

Resposta

Exercícios relacionados