Calcular a integral tripla:
integral0^pi2 integral0^y integral0^x sin (x+y+z) d z d x d y,

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla sobre a região
0 <= z <= x <= y <= pi2
da função sin(x+y+z). O conteúdo principal é integração iterada, e vamos usar a técnica de integrar passo a passo nas variáveis z, depois x e por fim y.

Passo 2

Integramos primeiro em z:
integral0^xsin(x+y+z),dz = l[-cos(x+y+z)r]z=0^z=x = cos(x+y)-cos(2x+y)

Passo 3

Agora integramos em x de 0 a y:
integral0^yl[cos(x+y)-cos(2x+y)r],dx =integral0^ycos(x+y),dx-integral0^ycos(2x+y),dx
Para o primeiro termo, com u=x+y,
integral0^ycos(x+y),dx =l[sin(x+y)r]0^y =sin(2y)-sin(y)
Para o segundo termo,
integral0^ycos(2x+y),dx =12l[sin(2x+y)r]0^y =12l(sin(3y)-sin(y)r)
Subtraindo,
sin(2y)-sin(y) -12l(sin(3y)-sin(y)r) =sin(2y)-12sin(3y)-12sin(y)

Passo 4

Finalmente, integramos em y de 0 a pi2:
integral0^pi2 l[sin(2y)-tfrac12sin(3y)-tfrac12sin(y)r]dy
Calculamos cada termo:
integralsin(2y),dy=-tfrac12cos(2y), integralsin(3y),dy=-tfrac13cos(3y), integralsin(y),dy=-cos(y)
Logo a primitiva é
-tfrac12cos(2y) +tfrac16cos(3y) +tfrac12cos(y),
e avaliando de 0 a pi2 obtém-se
l(tfrac12+0+0r) - l(-tfrac12+tfrac16+tfrac12r) =tfrac12-tfrac16 =tfrac13

Resposta

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