Verdadeiro/Falso Determine se a afirmaçāo dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
integral0^1 integral2 x^3 x f(x, y) d y d x=integral0^1 integraly / 3^y / 2 f(x, y) d x d y+integral1^2 integraly / 3^1 f(x, y) d x d y+integral2^3 integraly / 3^y / 2 f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado trata de trocar a ordem de integração no iterado
integral0^1integral2x^3xf(x,y),dy,dx
ou seja, é um problema de mudança de ordem de integração (teorema de Fubini) num domínio do plano (x,y).

Passo 2

Vamos descrever o domínio
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;2x<= y<=3x
No plano xy, isso é a região entre as retas y=2x e y=3x para xin[0,1]. Os vértices são (0,0), (1,2) e (1,3).

Passo 3

Para reescrever
integral duplaDf(x,y),dA
com integração em y primeiro, observamos que y varia de 0 a 3. Para cada y fixo, as desigualdades
2x<= y<=3x
implicam
x<= y2 e x>= y3,
juntamente com 0<= x<=1. Logo, para cada y,
xinl[ y3,;minl(1, y2r)r]
Então em princípio
integral0^1integral2x^3xf(x,y),dy,dx = integraly=0^3integralx=y/3^min(1,y/2)f(x,y),dx,dy

Passo 4

O valor de min(1,y/2) muda em y=2. Para 0<= y<=2 vale y/2<=1, e para 2<= y<=3 vale y/2>=1. Assim a integral em y quebra em dois pedaços:
integral0^2!integraly/3^y/2f(x,y),dx,dy ;+; integral2^3!integraly/3^1f(x,y),dx,dy

Passo 5

A expressão proposta no enunciado é
integral0^1!integraly/3^y/2f(x,y),dx,dy + integral1^2!integraly/3^1f(x,y),dx,dy + integral2^3!integraly/3^y/2f(x,y),dx,dy
Ela falha em duas coisas principais:
  1. usa três faixas em y em vez de duas;
  2. no trecho 2<= y<=3 traz como limite superior y/2 em vez de 1, e para 1<= y<=2 faz o contrário.
    Portanto essa decomposição não coincide com a verdadeira troca de ordem de integração.

Resposta

Falso.

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