Calcular a integral tripla:
integral triplaB e^zy d V, onde B=(x, y, z) in R^3: 0 <= y <= 1, y <= x <= 1,0 <= z <= x y

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral triplaB e^z/y,dV,
onde
B = (x,y,z)inR^3 mid 0<= y<=1,;y<= x<=1,;0<= z<= x,y
O conteúdo aqui é integral tripla e uso do Teorema de Fubini para transformar em uma integral iterada na ordem dz,dx,dy.

Passo 2

Começamos integrando em z:
integral0^x,y e^z/y,dz
Fazendo a mudança de variável u=z/y, vem dz = y,du e os limites vão de u=0 até u=x. Logo,
integral0^x,y e^z/y,dz = yintegral0^x e^u,du = yl(e^x-1r)

Passo 3

Substituindo na integral dupla restante, temos
integral0^1!integraly^1 yl(e^x-1r),dx,dy
Integramos em x:
integraly^1 y(e^x-1),dx = yl[(e^1-e^y)-(1-y)r] = y(e-1)-y,e^y+y^2

Passo 4

Agora integramos em y:
integral0^1l[y(e-1)-y,e^y+y^2r],dy
Calculando termo a termo:
(e-1)integral0^1y,dy = e-12, integral0^1y,e^y,dy = 1, integral0^1y^2,dy = 13
Somando,
e-12 - 1 + 13 = e2 - 76

Resposta

e2 - 76

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