Calcule cada integral complexa a seguir:
integral0^pi d theta(a+cos theta)^2, com a>1.

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral0^pidtheta(a+costheta)^2 com a>1
Este tipo de integral de função trigonométrica racional em costheta costuma ser resolvido pela substituição de Weierstrass
t = tantheta2,
que transforma a integral em uma integral racional em t.

Passo 2

Aplicando
theta = 2arctan t, costheta = 1-t^21+t^2, dtheta = 2,dt1+t^2,
os limites 0<=theta<=pi viram 0<= t<+infty. Assim
integral0^pidtheta(a+costheta)^2 = integral0^infty 2,dt/(1+t^2) l(a + 1-t^21+t^2r)^2
Note que
a + 1-t^21+t^2 = a(1+t^2) + (1-t^2)1+t^2 = (a+1) + (a-1)t^21+t^2,
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1(a+costheta)^2 = (1+t^2)^2l((a+1)+(a-1)t^2r)^2
Substituindo no integrando, obtemos
I = 2integral0^infty (1+t^2),dtl((a+1)+(a-1)t^2r)^2

Passo 3

Para simplificar, definimos
alpha = a+1, beta = a-1,
de modo que
I = 2integral0^infty 1+t^2(alpha+beta t^2)^2,dt = 2l(I1+I2r),
onde
I1 = integral0^inftydt(alpha+beta t^2)^2, I2 = integral0^inftyt^2,dt(alpha+beta t^2)^2

Passo 4

Cálculo de I1. Fazer u=raizbeta,t implica
dt = duraizbeta, alpha+beta t^2 = alpha+u^2
Assim
I1 = 1raizbeta integral0^inftydu(alpha+u^2)^2 = 1raizbetacdotpi4,alpha^3/2,
pois é sabido que
integral0^inftydu(u^2+alpha)^2 = pi4,alpha^3/2

Passo 5

Cálculo de I2. Com u=raizbeta,t temos
t^2=u^2beta, dt=duraizbeta,
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I2 = 1betaraizbeta integral0^inftyu^2,du(alpha+u^2)^2 = 1betaraizbetacdotpi4raizalpha,
já que
integral0^inftyu^2,du(u^2+alpha)^2 = pi4raizalpha

Passo 6

Somando I1 e I2:
I1+I2 = pi4l(1alpha^3/2raizbeta + 1raizalpha,betaraizbetar) = pi4,alpha+betaalpha^3/2,betaraizbeta = pi,2a4,(a^2-1)^3/2 = pi,a2,(a^2-1)^3/2,
pois alpha+beta=2a e alphabeta=a^2-1.

Passo 7

Voltando à integral original:
I = 2l(I1+I2r) = 2cdotpi,a2,(a^2-1)^3/2 = pi,a(a^2-1)^3/2

Resposta

integral0^pidtheta(a+costheta)^2 = pi,a(a^2-1)^3/2, a>1

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