Utilize um software* computacional para graficar o campo de direções das equações diferenciais a seguir, encontre a solução geral em cada caso e grafique também algumas curvas integrais sobre o campo:
y^prime(x)=-y

Passo 1

O enunciado pede para usar um software computacional a fim de desenhar o campo de direções da equação
y' = -y,
ache a solução geral e sobreponha algumas curvas integrais nesse mesmo campo. Aqui estamos em uma EDO de primeira ordem, separável, cujo campo direcional em cada ponto (x,y) tem inclinação -y.

Passo 2

Para desenhar o campo de direções, criamos uma grade de pontos (xi,yj) e em cada ponto traçamos um segmento de reta com declive
mij = -yj
Em Python (por exemplo) usamos numpy.meshgrid para gerar (X,Y) e plt.quiver para plotar vetores normalizados na direção (1,-Y).

Passo 3

Para achar a solução geral, separamos variáveis:
dydx = -y Longrightarrow dyy = -,dx
Integrando ambos os lados,
integral 1y,dy = integral -1,dx Longrightarrow ln|y| = -x + C1 Longrightarrow y(x) = C,e^-x,
onde C = e^C1 é a constante de integração.

Passo 4

As curvas integrais são então
y(x) = C,e^-x,
para diferentes valores de C. Para sobrepor essas curvas ao campo de direções, basta plotar várias dessas exponenciais (por exemplo com C=-2,-1,0,1,2) sobre o quiver.

Resposta

A solução geral da EDO é
e as curvas integrais são exponenciais decrescentes que, quando sobrepostas ao campo direcional definido por , mostram exatamente as linhas de tendência do sistema. A seguir um exemplo de código Python que gera tanto o campo de direções quanto várias curvas integrais:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Grade de pontos
x \(=\) np.linspace(-\(2\), \(2\), \(20\))
y \(=\) np.linspace(-\(2\), \(2\), \(20\))
X, Y \(=\) np.meshgrid(x, y)

# Campo direcional (vetores normalizados)
U \(=1\)
V \(=\) -Y
N \(=\) np.sqrt(U**\(2+\) V**\(2\))

plt.figure(figsize\(=\)(\(6,6\)))
plt.quiver(X, Y, U/N, V/N, angles\(=\)'xy')

# Curvas integrais para diversos C
xs \(=\) np.linspace(-\(2\), \(2\), \(200\))
for C in [-\(2\), -\(1\), \(0\), \(1\), \(2\)]:
    plt.plot(xs, C*np.exp(-xs), lw\(=2\))

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title("Campo direcional e curvas integrais de \(y'\(=\)-y\)")
plt.axhline(\(0\), color\(=\)'black', linewidth\(=0.5\))
plt.axvline(\(0\), color\(=\)'black', linewidth\(=0.5\))
plt.grid(True)
plt.show()

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